Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Unsere bisher betrachteten Anfangswertprobleme hatten eine eindeutige Lösung. Dass ein Anfangswertproblem sogar überabzählbar viele Lösungen besitzen kann, zeigt das folgende Beispiel:

Beispiel

Wir betrachten das AWP

y′ = 2  $\sqrt{y}$ , y ≥ 0, x  ∈  ℝ, y(0) = 0.

Eine Lösung des AWR ist die Nullfunktion f = 0 auf ℝ. Für alle a  ∈  ℝ ist aber auch f_a : ℝ → [ 0, ∞ [ eine Lösung des AWP, wobei

$f_{a} (x) = { \begin{matrix} (x - a)^{2} & falls x \geq a, \\ 0 & falls x < a. \end{matrix}$

Die Wurzelfunktion auf einem Intervall [ 0, b ] ist, wie wir wissen, stetig, aber nicht Lipschitz-stetig. In der Tat spielt der Begriff der Lipschitz-Stetigkeit in der Theorie der Differentialgleichungen eine Schlüsselrolle. Die Lipschitz-Stetigkeit von φ in der Variablen y führt zur eindeutigen Lösbarkeit eines Anfangswertproblems für φ. Genauer genügt eine lokale Version:

Definition (lokale Lipschitz-Stetigkeit in der y-Variablen)

Eine Funktion φ : P → ℝ, P ⊆ ℝ² offen, heißt lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen, wenn für alle p  ∈  P eine Umgebung U ⊆ P von p und ein L > 0 existiert mit

|φ(x, y₁) − φ(x, y₂)| ≤ L |y₁ − y₂| für alle (x, y₁), (x, y₂)  ∈  U.

Wir haben schon in der Analysis 1 gesehen, dass die stetige Differenzierbarkeit einer auf einem kompakten Intervall definierten Funktion die Lipschitz-Stetigkeit nach sich zieht. Dies gilt auch für die lokale Version:

Satz (Lipschitz-Stetigkeit bei stetiger Differenzierbarkeit)

Sei φ : P → ℝ, P ⊆ ℝ² offen, stetig. Weiter sei die partielle Ableitung ∂_y φ stetig. Dann ist φ lokal Lipschitz-stetig in y.

Damit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit für viele Funktionen φ erfüllt und auch relativ einfach zu überprüfen.

Nach dieser Vorbereitung können wir nun einen großen Satz der Theorie formulieren und beweisen.

Satz (Existenz und Eindeutigkeitssatz)

Sei φ : P → ℝ, P ⊆ ℝ² offen, stetig und lokal Lipschitz-stetig in y. Weiter sei (x₀, y₀)  ∈  P. Dann besitzt das AWP

y′ = φ(x, y), y(x₀) = y₀

eine eindeutige maximale Lösung f : J → ℝ, d. h., f ist eine Lösung des AWP, und für jede Lösung g : I → ℝ des AWP gilt I ⊆ J und g = f|I.

Beweis

Eindeutigkeit der Lösung auf einem Intervall

Seien f, g : I → ℝ Lösungen des AWP mit f ≠ g. Wir nehmen an, dass es ein x > x₀ gibt mit f (x) ≠ g(x). (Andernfalls ist f (x) ≠ g(x) für ein x < x₀ und wir argumentieren analog.) Da f und g stetig sind, existiert

x* = max { x > x₀ | f (t) = g(t) für alle x₀ ≤ t ≤ x }.

Sei nun U ⊆ P eine Umgebung von p = (x*, f (x*)) = (x*, g(x*)), in der φ Lipschitz-stetig in y mit einer Konstanten L > 0 ist. Weiter sei b > x* derart, dass die Graphen von f|[ x*, b ] und g|[ x*, b ] Teilmengen von U sind. Dann gilt für alle x  ∈  [ x*, b ]:

|f ′(x) − g′(x)| = |φ(x, f (x)) − φ(x, g(x))| ≤ L |f (x) − g(x)|.

Sei h : [ x*, b ] → ℝ definiert durch h = (f − g)². Dann ist

h′ = 2 (f − g) (f ′ − g′) ≤ 2L |f − g| |f − g| = 2 L h.

Damit gilt für alle x  ∈  [ x*, b ]:

(h e^−2L x)′ = h′ e^−2L x − 2L h e^−2Lx = e^−2Lx (h′ −2L h) ≤ 0.

Also ist h e^−2Lx monoton fallend in [ x*, b ]. Wegen h(x*) = 0 und e^−2Lx > 0 folgt hieraus, dass h ≤ 0. Nach Definition von h ist aber h ≥ 0. Also ist h = 0 und damit f (x) = g(x) auf [ x*, b ], im Widerspruch zur Wahl von x*.

Beweis der Maximierbarkeit des Definitionsintervalls einer Lösung

Wir nehmen an, dass das AWP lösbar ist und definieren f : J → ℝ durch

J = ⋃ { I | es gibt eine Lösung g : I → ℝ des AWP },

f (x) = g(x), wobei g : I → ℝ eine Lösung des AWP mit x  ∈  I ist.

Da alle I den Punkt x₀ enthalten, ist J ein Intervall und es gilt x₀  ∈  J. Nach der bereits gezeigten Eindeutigkeit ist f wohldefiniert, und nach Konstruktion ist f eine maximale Lösung des AWP.

Beweis der Existenz einer Lösung (Picard-Lindelöf-Verfahren)

Für ein nichttriviales Intervall I mit x₀  ∈  I ist eine differenzierbare Funktion f : I → ℝ genau dann eine Lösung des AWP, wenn

(+) f (x) = y₀ + ∫^x_x₀φ(t, f (t)) dt für alle x  ∈  I.

Wir zeigen, dass für ein hinreichend kleines kompaktes Intervall I ≠ { x₀ } und ein abgeschlossenes nichtleeres

A ⊆ 𝒞_I = { f | f : I → ℝ stetig }

die Abbildung T : A → A mit

T(f) (x) = y₀ + ∫^x_x₀φ(t, f (t)) dt für alle x  ∈  I

eine Kontraktion ist, wobei wir den Raum 𝒞_I mit der Supremumsnorm versehen. Dies genügt. Denn da A abgeschlossen ist, ist A mit der induzierten Metrik vollständig. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz existiert also ein f*  ∈  A mit

T(f*) = f*.

Nach (+) ist f* : I → ℝ eine Lösung des AWP.

Zur Definition von I und A seien δ > 0, L > 0 und s > max(δL, 1) derart, dass

(a)	R = [ x₀ − δ, x₀ + δ ] × [ y₀ − δ, y₀ − δ ] ⊆ P,

(b)	\|φ(x, y₁) − φ(x, y₂)\| ≤ L \|y₁ − y₂\| für alle (x, y₁), (x, y₂)  ∈  R,

(c)	\|φ(x, y)\| ≤ s für alle (x, y)  ∈  R.

Wir setzen nun:

ε = ^δ_s, I = [ x₀ − ε, x₀ + ε ], A = { f  ∈  𝒞_[ I ] | ∥ f − y₀ ∥ ≤ δ }.

φ(x, y) ist Lipschitz-stetig in y in einer Umgebung U von (x₀, y₀) mit einer Konstanten L. Weiter ist R ⊆ U und φ(x, y) beschränkt auf R durch s für eine hinreichend groß gewählte Schranke s. Dann definiert ε = δ/s eine Menge A von stetigen Funktionen, auf der T eine Kontraktion ist.

Die Menge A ist nichtleer und abgeschlossen. Weiter ist T(f)  ∈   A für alle f  ∈  A, denn

∥ T(f) − y₀ ∥ = ∥ ∫^x_x₀φ(t, f (t)) dt ∥_{x  ∈  I} ≤ ∥ ∫^x_x₀s dt ∥_{x  ∈  I} = ε s = δ.

Damit gilt T : A → A. Schließlich ist T eine Kontraktion, denn für alle f, g  ∈  A gilt

∥ T(f) − T(g) ∥	= ∥ ∫^x_x₀φ(t, f (t)) − φ(t, g(t)) dt ∥_{x  ∈  I}
	≤ L ∥ ∫^x_x₀\|f (t) − g(t)\| dt ∥_{x  ∈  I}
	≤ L ε ∥ f − g ∥ = ^{L δ}_s ∥ f − g ∥,

mit L δ/s < 1 nach Wahl von s.

Der Existenzbeweis von Picard-Lindelöf liefert ein Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen, die die Voraussetzung des Satzes erfüllen. Wir starten mit der konstanten Funktion f₀ = y₀ auf I und definieren rekursiv

f_n + 1 = T(f_n) für alle n.

Dann ist der eindeutig bestimmte Fixpunkt

f* = lim_n f_n (gleichmäßig)

von T die eindeutige Lösung des AWP auf dem Intervall I.

Beispiel 1

Wir betrachten das AWP

y′ = x + y, y(0) = 0.

Raten oder Anwendung des Lösungsverfahrens für lineare Differentialgleichungen liefert die Lösung f : ℝ → ℝ mit

f (x) = e^x − 1 − x für alle x  ∈  ℝ.

Wenden wir das Verfahren von Picard-Lindelöf für φ(x, y) = x + y, I = ℝ und f₀ = 0 an, so erhalten wir:

f₁(x) = ∫^x₀ t + 0 dt = ^x²₂,

f₂(x) = ∫^x₀ t + ^t²₂ dt = ^x²₂ + ^x³₆,

f₃(x) = ∫^x₀ t + ^t²₂ + ^t³₆ dt = ^x²₂ + ^x³₆ + ^x⁴₂₄ usw.

Die Funktionen f_n sind Partialsummen der Potenzreihenentwicklung der Lösung f.

Die (dicker gezeichnete) Lösung des AWP

y′ = x + y, y(0) = 0

und einige Funktionen der zugehörigen Picard-Lindelöf-Iteration.

Beispiel 2

Das AWP

y′ = 2 $\sqrt{y}$ , y ≥ 0, y(0) = 0

ist nicht lokal Lipschitz-stetig in y. Wenden wir das Picard-Lindelöf-Verfahren für φ(x, y) = $\sqrt{y}$ , I = ℝ, f₀ = 0 dennoch an, so erhalten wir

f₁(x) = 0 + ∫^x₀ $\sqrt{0}$ dt = 0

und allgemeiner f_n(x) = 0 für alle n. Es wird also die triviale Lösung gefunden, die Lösungen f_a mit

f_a(x) = 0 für x ≤ a, f_a(x) = (x − a)² für x ≥ a

bleiben unentdeckt.

Beispiel 3

Gegeben sei nun das AWP

y′ = sin(x y), y(0) = 1.

Das Picard-Lindelöf-Verfahren für φ(x, y) = sin(xy), I = ℝ und f₀ = 1 liefert

f₁(x) = 1 + ∫^x₀ sin(t) dt = 2 − cos(x),

f₂(x) = 1 + ∫^x₀ sin(2t − t cos(t)) dt.

Das letzte Integral ist nicht mehr elementar lösbar, f₂ und die weiteren Iterationen müssen numerisch bestimmt werden.

Die numerisch bestimmte Lösung f des AWP

y′ = sin(x y), y(0) = 1,

sowie f₀, f₁ und (numerisch bestimmt) f₂ der Picard-Lindelöf-Iteration