Das Riemann-Integral für höhere Dimensionen

Wir erweitern unseren Integrationsbegriff auf reellwertige Funktionen mit mehrdimensionalen Definitionsbereichen, sodass wir insbesondere Volumina dreidimensionaler Körper mit analytischen Methoden berechnen können.

Sind [ a, b ], [ c, d ] reelle Intervalle und ist f : [ a, b ] × [ c, d ] → ℝ, so können wir wieder versuchen, der Funktion f eine reelle Zahl I(f) zuzuordnen, die anschaulich der signierte Volumeninhalt der Menge der Punkte zwischen dem Graphen von f und der x-y-Ebene ist oder gleichwertig der mit (b − a)(d − c) multiplizierte Mittelwert von f. Die Durchführung der Konstruktion des Riemann-Integrals für Funktionen auf [ a, b ] × [ c, d ] verläuft in Analogie zum eindimensionalen Fall. An die Stelle der Partitionen von Intervallen treten Partitionen von Rechtecken.

Definition (Partitionen von Rechtecken)

Sei P = [ a, b ] × [ c, d ] ⊆ ℝ² mit beschränkten Intervallen [ a, b ] und [ c, d ].

Dann heißt p = (t_k, s_j, x_{k, j})_{k ≤ n, j ≤ m} eine Partition von P, falls gilt:

(a)	(t_k)_k ≤ n ist eine stützstellenfreie Partition von [ a, b ],

(b)	(s_j)_j ≤ m ist eine stützstellenfreie Partition von [ c, d ],

(c)	x_{k, j}  ∈  [ t_k, t_k + 1 ] × [ s_j, s_j + 1 ] für alle k ≤ n und j ≤ m.

Die Punkte t_k, s_j heißen die Zerlegungspunkte und die Punkte x_k, j die Stützstellen von p. Die Partition p hat die Feinheit δ > 0, falls die Partitionen (t_k)_k ≤ n und (s_j)_j ≤ m die Feinheit δ besitzen. Weiter setzen wir

δ(p) = max(δ((t_k)_k ≤ n), δ((s_j)_j ≤ m)).

p heißt äquidistant, falls (t_k)_k ≤ n und (s_j)_j ≤ m äquidistant sind.

Das Rechteck P wird durch p in n · m abgeschlossene Rechtecke aufgeteilt, und in jedem dieser Rechtecke wird eine Stützstelle ausgezeichnet. Hat p die Feinheit δ, so ist die Fläche jedes Rechtecks der Partition kleinergleich δ².

Wie früher können wir nun Riemann-Summen und die Riemann-Integrierbarkeit definieren:

Definition (Riemann-Summen)

Seien P = [ a, b ] × [ c, d ], f : P → ℝ und p = (t_k, s_j, x_{k, j})_{k ≤ n, j ≤ m} eine Partition von P. Dann heißt die reelle Zahl

∑_p f = ∑_{k ≤ n, j ≤ m} f(x_{k, j}) (t_k + 1 − t_k) (s_j + 1 − s_j)

die Riemann-Summe von f bzgl. der Partition p.

Definition (Riemann-Integrierbarkeit und Riemann-Integral)

Sei P = [ a, b ] × [ c, d ]. Eine Funktion f : P → ℝ heißt (Riemann-) integrierbar, falls gilt:

Es gibt ein c  ∈  ℝ, sodass für alle ε > 0 ein δ > 0 existiert mit :

Für alle Partitionen p von P der Feinheit δ gilt |∑_p f − c| < ε. (Integrierbarkeitsbedingung)

Die reelle Zahl c heißt dann das (Riemann-) Integral von f, und wir schreiben

c = I(f) = ∫_P f = ∫_P f(x, y) dx dy = ∫_P f(x, y) d(x, y).

Wie früher erhalten wir, dass jede integrierbare Funktion beschränkt ist. Weiter gelten viele vertraute Eigenschaften:

Satz (Eigenschaften des zweidimensionalen Riemann-Integrals)

Sei P = [ a, b ] × [ c, d ]. Dann gilt für alle integrierbaren Funktionen f, g : P → ℝ, alle α, β  ∈  ℝ, alle Rechtecke R ⊆ P und alle Partitionen (t_k)_k ≤ n von [ a, b ] und (s_j)_j ≤ m von [ c, d ]:

(a)	∫_P 1 = (b − a) (d − c), (Normiertheit)

(b)	∫_P (α f + β g) = α ∫_P f + β ∫_P g, (Linearität)

(c)	∫_P f ≤ ∫_P g, falls f ≤ g, (Monotonie)

(d)	∫_R f existiert, (Einschränkung)

(e)	∫_P f = ∑_{k ≤ n, j ≤ m} ∫_{[ t_k, t_k + 1 ] × [ s_j, s_j + 1 ]} f. (Aufspaltung)

Varianten und geometrische Interpretation

Wir erhalten wieder den gleichen Integrationsbegriff, wenn wir nur äquidistante Partitionen eines Rechtecks P zulassen, die P in gleichgroße (aber nicht notwendig quadratische) kleinere Rechtecke unterteilen. Auch der Ansatz über Darboux-Summen, bei dem anstelle der Auswertung an Stützstellen Suprema und Infima in den Rechtecken der Partitionen gebildet werden, führt zum selben Integral. In solchen Darboux-Summen verwenden wir stützstellenfreie Partitionen von P, die aus zwei stützstellenfreien Partitionen der aufspannenden Intervalle [ a, b ] und [ c, d ] bestehen.

Auch die geometrische Interpretation des Riemann-Integrals für nichtnegative Funktionen ist übertragbar, wobei der Jordan-Inhalt nun als approximative Volumenmessung von Innen und Außen erklärt wird. Zur Messung werden Kuben verwendet, die durch ein δ-Gitter im dreidimensionalen Raum gegeben sind:

Definition (δ-Kubus)

Sei δ > 0. Ein δ-Kubus oder δ-Würfel ist eine Teilmenge Q des ℝ³ der Form

Q = [ z₁δ, (z₁ + 1)δ ] × [ z₂δ, (z₂ + 1)δ ] × [ z₃δ, (z₃ + 1)δ ]

für gewisse ganze Zahlen z₁, z₂, z₃.

Damit definieren wir:

Definition (dreidimensionaler Jordan-Inhalt, Volumen)

Sei P ⊆ ℝ³ beschränkt. Dann definieren wir den äußeren Jordan-Inhalt J(P) und den inneren Jordan-Inhalt j(P) durch

J(P) = inf_δ > 0	δ³ · „die Anzahl der δ-Kuben Q mit Q ∩ P ≠ ∅“,
j(P) = sup_δ > 0	δ³ · „die Anzahl der δ-Kuben Q mit Q ⊆ P“.

Gilt J(P) = j(P), so heißt P Jordan-messbar, und J(P) = j(P) heißt der Jordan-Inhalt oder das (Jordan-) Volumen von P.

Integral und Inhalt hängen wie im Eindimensionalen eng zusammen:

Satz (zweidimensionales Riemann-Integral und Volumen)

Eine Funktion f : [ a, b ] × [ c, d ] → [ 0, ∞ [ ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn die von f und der x-y-Ebene eingeschlossene Punktmenge

A_f = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | (x, y)  ∈  [ a, b ] × [ c, d ], 0 ≤ z ≤ f(x, y) }

Jordan-messbar ist. In diesem Fall gilt I(f) = J(A_f).

Integrierbare Funktionen

Da ein Rechteck P = [ a, b ] × [ c, d ] kompakt ist, ist eine stetige Funktion f auf P gleichmäßig stetig, und wie früher folgt hieraus, dass jede stetige Funktion auf P integrierbar ist. Wie im Eindimensionalen gilt auch, dass das Produkt zweier integrierbarer Funktionen f, g : P → ℝ integrierbar ist. Weiter ist die Indikatorfunktion 1_A : P → ℝ einer Menge A ⊆ P genau dann integrierbar, wenn A Jordan-messbar ist, und es gilt dann I(1_A) = J(A). Damit ist also f · 1_A integrierbar, wenn f integrierbar und A Jordan-messbar ist. Wir definieren:

Definition (Integral über Jordan-messbare Mengen)

Seien f : P → ℝ integrierbar, P = [ a, b ] × [ c, d ] und A ⊆ P Jordan-messbar. Dann setzen wir

∫_A f = ∫_P f · 1_A.

Auch viele unstetige Funktionen sind integrierbar. Ein Ergebnis hierzu lautet:

Satz (Unstetigkeitsstellen mit Jordan-Inhalt 0)

Sei f : [ a, b ] × [ c, d ] → ℝ derart, dass

N = { p  ∈  [ a, b ] × [ c, d ] | f ist unstetig in p }

eine Jordan-Nullmenge ist. Dann ist f Riemann-integrierbar.

Für ein N ⊆ ℝ² gilt J(N) = 0 genau dann, wenn es für jedes ε > 0 endlich viele δ-Quadrate Q₁, …, Q_n mit nδ² < ε gibt, die N überdecken. Ist N ⊆ ℝ² eine Jordan-Nullmenge, so gilt dies auch für jede Teilmenge von N. Beispiele für Jordan-Nullmengen sind Strecken, Kreislinien und die Graphen stetiger Funktionen auf [ a, b ]. Allgemein gilt:

Satz (Rand von Jordan-messbaren Mengen)

Ist A ⊆ ℝ² Jordan-messbar, so gilt J(bd(A)) = 0.

Ist also A ⊆ P Jordan-messbar und f : A → ℝ stetig, so ist die Nullfortsetzung g von f auf P integrierbar, da ihre Unstetigkeitsstellen eine Teilmenge der Nullmenge bd(A) bilden. Wir setzen auch hier wieder

∫_A f = ∫_P g.

Damit können wir insbesondere stetige Funktionen integrieren, die auf Kreisen, Ellipsen usw. definiert sind.

Die rationalen Zahlen liefern wieder Beispiele für nicht integrierbare Funktionen. Die Menge Q = ℚ² ∩ [ 0, 1 ]² hat den inneren Jordan-Inhalt 0 und den äußeren Jordan-Inhalt 1, und damit ist die Indikatorfunktion von Q auf [ 0, 1 ]² nicht Riemann-integrierbar.

Auf die Einführung uneigentlicher mehrdimensionaler Integrale können wir hier verzichten, aber wir wollen wenigstens noch ein Integral für gewisse auf ganz ℝⁿ erklärte Funktionen einführen. Wir definieren hierzu:

Definition (Funktionen mit kompaktem Träger)

Ein f : ℝ² → ℝ hat kompakten Träger, falls ein R ≥ 0 existiert, sodass für alle (x, y)  ∈  ℝ² − [ − R, R ]² gilt, dass f(x, y) = 0. Wir nennen dann f integrierbar, falls f|[ − R, R ]² integrierbar ist, und wir setzen in diesem Fall

I(f) = ∫_ℝ²f = ∫_ℝ²f(x, y) dx dy = I(f|[ − R, R ]²).

Gleichwertig ist die topologische Bedingung, dass der Abschluss des Trägers

supp(f) = { (x, y)  ∈  ℝ² | f (x, y) ≠ 0 }

kompakt ist (mit „supp“ für engl. „support“).

Höhere Dimensionen

Unsere Konstruktion lässt sich problemlos auf n-dimensionale Definitionsbereiche P = [ a₁, b₁ ] × … × [ a_n, b_n ] und Funktionen f : P → ℝ erweitern. Es ergibt sich eine analoge Theorie. Insbesondere ist das Riemann-Integral einer Funktion f : P → [ 0, ∞ [ der (n + 1)-dimensionale Jordan-Inhalt J(A_f) der Menge

A_f = { (x₁, …, x_n, z)  ∈  ℝ^n + 1 | (x₁, …, x_n)  ∈  P, 0 ≤ z ≤ f(x₁, …, x_n) }.

Ist umgekehrt A ⊆ P Jordan-messbar, so ist die Indikatorfunktion 1_A : P → ℝ von A integrierbar, und es gilt

J(A) = I(1_A) = ∫_P1_A.

Das mehrdimensionale Riemann-Integral entspricht damit genau der klassischen Methode der Einbeschreibung und Umschließung von Mengen durch einfache geometrische Figuren.

Wir fassen zusammen:

(1)	Das Integral einer nichtnegativen n-dimensionalen Funktion f ist der Jordan-Inhalt der (n + 1)-dimensionalen Menge A_f.

(2)	Der Jordan-Inhalt einer n-dimensionalen Menge A ⊆ P ist das Integral der n-dimensionalen Funktion 1_A : P → ℝ.

(3)	Durch Zerlegung von f in Positiv- und Negativteil, f = f ⁺ − f ⁻, kann das Integral für beliebige integrierbare Funktionen als Differenz zweier Inhalte aufgefasst werden, I(f) = I(f ⁺) − I(f ⁻) = J(A_f ⁺) − J(A_f ⁻).

Das Integral ist mit einem überzeugenden Kalkül ausgestattet, und oftmals wird J(A) durch Berechnung von I(f) für f mit A_f = A bestimmt.