Das Cavalierische Prinzip

Beispiel 1:  Volumen eines Rotationskörpers

Sei f : [ a, b ] → ℝ eine stetige Funktion, und sei

A  =  { (x, y, z) | z  ∈  [ a, b ],  x² + y²  ≤  f (z)² }

der Körper, der entsteht, wenn wir S(f) = { (f (z), 0, z) | z  ∈  [ a, b ] } um die z-Achse rotieren. Die z-Schnitte von A sind Kreise mit Radius f (z), sodass J(A_z) = π f (z)² für alle z  ∈  [ a, b ]. Damit ist

J(A)  =  π  ∫^b_af (z)² dz.

Beispiel 2:  Volumen eines Kreiskegels

Wir betrachten A wie im vorherigen Beispiel für die Funktion f : [ 0, h ] → ℝ mit

f (z)  =  a (h − z)  für alle z  ∈  [ 0, h ],

wobei a > 0. Dann ist A ein (gerader) Kreiskegel der Höhe h und Radius r = f (0) = a h des Grundkreises. Es gilt

J(A)  =  π  ∫^h₀a² (h − z)² dz  =  ^a2 π h3₃  =  ^r2 π h₃,

also die Formel „1/3 mal Grundfläche mal Höhe“. Nach dem Cavalierischen Prinzip gilt diese Formel auch für schräge Kreiskegel, bei denen die Spitze nicht auf der Senkrechten des Grundkreises durch den Mittelpunkt liegt. Noch allgemeiner ist:

Beispiel 3:  Volumen eines Kegels mit messbarer Grundfläche

Sei G ⊆ [ −r, r ]² Jordan-messbar mit Jordan-Inhalt J(G). Weiter sei h > 0 und

A  =  { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | 0 ≤ z ≤ h und es gibt ein (x₀, y₀)  ∈  G mit (x, y)  =  (1 − z/h) (x₀, y₀) }.

A ist der Körper, der entsteht, wenn wir den Punkt (0, 0, h) mit allen Punkten (x₀, y₀) der Grundfläche G verbinden. Für den z-Schnitt A_z von A gilt

A_z  =  c G  =  { c (x, y) | (x, y)  ∈  G }  mit c = 1 − z/h,

J(A_z)  =  J(c G)  =  c² J(G)  =  (1 − z/h)² J(G).

Damit ist

J(A)  =  ∫^h₀(1 − z/h)² J(G) dz  =  ${\left.-\mathrm{J}(\mathrm{G})\mathrm{h}\frac{(1-\mathrm{z}/\mathrm{h}){\mathrm{}}^3}{3}\right|}_{\mathrm{z}=0}^{\mathrm{z}=\mathrm{h}}$  =  ^J(G) h₃.

Für G = [ − a/2, a/2 ]² ist A eine Pyramide mit der Grundfläche J(G) = a² und Höhe h.

A hat das Volumen a² h/3.

Beispiel 4:  Additivität des Integrals

Die Eigenschaft

∫^b_af (x) + g(x) dx  =  ∫^b_af (x) dx  +  ∫^b_ag(x) dx

des eindimensionalen Integrals lässt sich mit dem Cavalierischen Prinzip für die Dimension n = 2 begründen:

Beispiel 5:  Volumen eines Ellipsoids

Seien a, b, c > 0 und

E  =  { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | ${\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)}^2$  +  ${\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right)}^2$  +  ${\left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}}\right)}^2$  ≤  1 }

ein Ellipsoid mit den Halbachsen a, b, c. Ist z  ∈  [ − c, c ] und (x, y, z)  ∈  E, so gilt

${\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)}^2$  +  ${\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right)}^2$  ≤  1  −  ${\left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}}\right)}^2$  =  w²_z, 

wobei

w_z  =  $\sqrt{1-\frac{{\mathrm{z}}^2}{{\mathrm{c}}^2}}$ .

Damit ist der z-Schnitt E_z von E eine Ellipse mit den Halbachsen aw_z und bw_z. Folglich ist

J(E)  =  ∫^c_−c J(E_z) dz  =  ∫^c_−c π a w_z b w_z dz  =  π a b ∫^c_−c1  −  ^z2_c² dz  =  π a b (2c  −  ^2c3_3c²)  =  ⁴₃ π a b c.

Dabei haben wir die Formel „π · Produkt der Halbachsen“ für die Fläche einer Ellipse aus 1. 5 verwendet. Diese Formel lässt sich ebenfalls mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips gewinnen (Übung). Der Leser vergleiche das Volumen eines Ellipsoids mit dem Kugelvolumen 4/3 π r³ = 4/3 π r r r.

Beispiel 6:  Volumen eines Torus

Wir betrachten einen Volltorus

T  =  { (x, y, z)  ∈  ℝ³  |  ${\left(\mathrm{R}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}\right)}^2$ + z²  ≤  r² }

mit den Radien R ≥ r > 0. Für alle z  ∈  [ −r, r ] ist der z-Schnitt A_z von T ein Kreisring mit dem Flächeninhalt

J(A_z)  =  ${\left(\mathrm{R}+\sqrt{{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{z}}^2}\right)}^2$ π  −  ${\left(\mathrm{R}-\sqrt{{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{z}}^2}\right)}^2$ π  =  4 R π $\sqrt{{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{z}}^2}$.

Damit berechnet sich das Volumen J(T) des Volltorus zu (vgl. die Beispiele zur Substitutionsregel in 1. 5):

J(T)  =  ∫^r_-r4 R π $\sqrt{{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{z}}^2}$ dz  =  4 R π r²π/2  =  2 π² R r².

Eine integralfreie Herleitung dieser und anderer Formeln mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips besprechen wir in den Ergänzungen E12.

Obwohl es für die Integration einfacher ist, z-Schnitte zu betrachten, lohnt es sich, auch einen Blick auf die y-Schnitte zu werfen. Schneiden wir den Torus mit der Ebene „y = 0“, so sehen wir zwei Kreise mit Radius r und den Mittelpunkten −R und R. Bewegen wir nun c in den Schnittebenen „y = c“ von 0 nach ± (R + r), so deformieren sich die Kreise, bis sie verschmelzen und sich in ovalen Gebilden zu einem Punkt zusammenziehen. Die Verschmelzungspunkte c = ± (R − r) bergen eine Überraschung:

Die Ebenen „y = ± (R − r)“ schneiden die Oberfläche des Torus in den Punkten (x, y) mit

(R − $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+(\mathrm{R}-\mathrm{r}){\mathrm{}}^2}$)² + z²  =  r².

Umformen ergibt

(x²  +  z²)²  =  4 R (r x² − (R − r) z²),

sodass der Schnitt für R = 2r eine Lemniskate zu r a = 2 $\sqrt{2}$ r ist (vgl. 3. 2).

Für R/r ≠ 2 ergeben sich modifizierte Schleifen.