Polar- und Zylinderkoordinaten

 Wir untersuchen nun noch verschiedene Koordinatensysteme und die zugehörigen Integrationsregeln.

Integration für Funktionen in ebenen Polarkoordinaten

 Oft ist es bequem, eine Funktion f : ℝ² → ℝ nicht als Funktion in den Achsen-Koordinaten x und y anzugeben, sondern in Polarkoordinaten r und φ, wobei r den Abstand vom Ursprung und φ den Winkel im Bogenmaß mit geeigneten Konventionen angibt, etwa φ  ∈  [ 0, 2π [ oder φ  ∈  ] − π, π ].

 Statt des Intervalls [ 0, 2π [ wird oft auch das Intervall ] − π, π ] verwendet. Die Winkel der Punkte der unteren Halbebene sind dann negativ. Allgemein kann man (r, φ) und (r, φ + k 2π) für alle ganzen Zahlen k miteinander identifizieren, sodass ein Punkt der Ebene unendlich viele Polarkoordinaten besitzt.

 Die analytische Behandlung der Argument-Funktion involviert den Arkustangens. Nützlich ist hier die folgende zweidimensionale Funktion (vgl. hierzu auch die Übungen zu 3. 3. 2 in Band 1):

 Die arctan₂-Funktion erlaubt die Berechnung des Arguments von x + iy in Abhängigkeit von x und y. Die Fallunterscheidung ist so konstruiert, dass

arg(x + iy)  =  arctan₂(x, y)  für alle x, y  ∈  ℝ.

Sind Winkel in ] − π, π ] gewünscht, so ist die Zahl 2π von arctan₂(x, y) abzuziehen, falls arctan₂(x, y) > π ist. Dies tritt im zweiten und fünften Fall der Definition ein und weiter im dritten, falls y < 0.

 Der Rückweg von den Polar- zu den Achsenkoordinaten verläuft wie folgt:

 Die Funktionen Ψ : ℝ² → ℙ und Φ|ℙ : ℙ → ℝ² sind bijektiv und invers zueinander. Die Polarumrechnung Ψ ist jedoch nicht stetig: Wandern wir, beginnend in einem Punkt (r, 0) mit r > 0, den Kreis der Ebene mit Mittelpunkt 0 und Radius r ab, so wachsen die Argumente der besuchten Punkte monoton von einschließlich 0 bis ausschließlich 2π und springen dann zurück auf 0, wenn wir wieder beim Punkt (r, 0) angelangt sind. Ebenso springt der Winkelwert φ unter der Funktion Ψ von einem konstanten positiven Wert auf Null, wenn wir eine von der positiven x-Achse verschiedene Halbgerade bis zum Ursprung durchlaufen. Die Funktion Φ ist dagegen stetig. Wir können die Unstetigkeit von Ψ beheben, wenn wir Ψ auf die „geschlitzte Ebene“ ℝ² − { (x, 0) | x ≥ 0 } einschränken. Arbeiten wir mit Winkeln in ] − π, π [ so ist ℝ² − { (x, 0) | x ≤ 0 } die zugehörige geschlitzte Ebene. Durch diese Modifikation erhalten wir insgesamt stetige Bijektionen, die genauer sogar stetig differenzierbar sind.

 Ebene Polarkoordinaten eignen sich inbesondere zur Berechnung des euklidischen Skalarprodukts. Sind v₁, v₂  ∈  ℝ² und sind (r₁, φ₁) und (r₂, φ₂) Polarkoordinaten von v₁ bzw. v₂, so gilt

v₁  =  r₁ (cos(φ₁), sin(φ₁))  und  v₂  =  r₂ (cos(φ₂), sin(φ₂)),

und das Additionstheorem des Kosinus liefert

〈 v₁, v₂ 〉  =  r₁ r₂ (cos(φ₁) cos(φ₂)  +  sin(φ₁) sin(φ₂))  =  r₁ r₂ cos(φ₁ − φ₂).

Die Formel für das Skalarprodukt 〈 ·, · 〉_p in Polarkoordinaten lautet also

〈 (r₁, φ₁), (r₂, φ₂) 〉_p  =  r₁ r₂ cos(φ₁ − φ₂).

Für alle Vektoren v₁, v₂ der Ebene gilt

〈 v₁, v₂ 〉  =  〈 Ψ(v₁), Ψ(v₂) 〉_p.

Aus der polaren Darstellung lässt sich beispielsweise die Invarianz des Skalarprodukts unter Drehungen ablesen. Drehen wir die Vektoren v und w um einen gemeinsamen Winkel, so bleibt die Differenz der Winkel zwischen den beiden Vektoren und damit der Kosinus dieser Differenz gleich.

 Die Verwendung von Polarkoordinaten in analytischen Kontexten ist vor allem dann von Vorteil, wenn eine Funktion f : ℝ² → ℝ rotationssymmetrisch ist. Ist zum Beispiel

f(x, y)  =  ∥ (x, y) ∥  =  $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$  für alle x, y  ∈  ℝ,

und ist g = f ∘ Φ : [ 0, ∞ [ × ℝ → ℝ, so gilt

g(r, φ)  =  ∥ r(cos(φ), sin(φ)) ∥  =  r  für alle (r, φ)  ∈  [ 0, ∞ [ × ℝ.

Unsere Funktion ist aus polarer Sicht also einfach die Projektion auf die erste Komponente, also eine sehr einfache und vollkommen wurzelfreie Funktion. Es fragt sich, wie eine „polare Analysis“ von f aussieht. Für die Integrationstheorie können wir die Frage allgemein so formulieren:

Bei der Übersetzung im Beispiel oben erhalten wir eine Wurzelfunktion, die mühsamer zu integrieren ist als die Projektionsfunktion. Der Wunsch nach einer direkten Integration in Polarkoordinaten ist hier nur natürlich. In der Tat lassen sich Funktionen in Polarkoordinaten sehr einfach nach dr und df integrieren. Wir müssen lediglich einen „Korrektur-“ oder „Transformationsfaktor“ beachten:

 Anstelle f als Doppelintegral über x und y zu integrieren, können wir also mit gleichem Ergebnis f ∘ Φ als Doppelintegral über die Koordinaten r und φ integrieren, wobei wir dem Integral über f ∘ Φ den Faktor r hinzufügen müssen. Er entspricht der Tatsache, dass der Umfang eines Kreises mit Radius r das r-Fache des Umfangs des Einheitskreises ist. Integrieren wir bei festem r über alle Winkel φ, so hat dieser „infinitesimale Beitrag“ zum Integral das r-fache Gewicht. (Wir werden am Ende des Abschnitts einen allgemeinen Satz formulieren, der den Korrekturfaktor einer Koordinatentransformation genau angibt.)

 Liegt eine Funktion g in Polarkoordinaten vor, d. h., ist g = f ∘ Φ für eine gewisse Funktion f : ℝ² → ℝ, so können wir das gewünschte Integral (das ist das Integral I(f) über f, nicht das Integral I(g) über g) einfach berechnen durch

I(f)  =  ∫^∞₀ ∫^2π₀g(r, φ) r dφ dr,

wobei wir stillschweigend annehmen, dass f einen kompakten Träger besitzt und integrierbar ist. In der Praxis ist g oft als Term gegeben, etwa

g(r, φ)  =  r²sin φ  +  r  für alle (r, φ)  ∈  [ 0, ∞ [ × ℝ.

Wir verwenden dann einfach den g definierenden Term als Integranden und multiplizieren ihn mit r. Anschließend wird das Integral wie ein übliches Doppelintegral behandelt (in unserem Beispiel integrieren wir r³sin φ + r²). Die Integrationsvariablen heißen nun r und φ, aber wir können ihnen auch beliebige andere Namen geben.

Integration für Funktionen in räumlichen Polarkoordinaten

 Auch dreidimensionale Funktionen können in Polarkoordinaten dargestellt werden, wobei hier drei Koordinaten r, θ, φ verwendet werden. Üblich ist die folgende Bedeutung dieser Koordinaten:

Damit ist θ der „polare Breitengrad“ und φ der „Längengrad“ eines Punktes p, der sich auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius r befindet. (Im Gegensatz zur Geographie wird der Breitengrad hier nicht vom Äquator, sondern vom Nordpol aus gemessen, und der Längengrad wird auf die positive x-Achse geeicht.) Dieser geometrischen Bedeutung der Polarkoordinaten entsprechen, wie im zweidimensionalen Fall, Funktionen Ψ und Φ, die die wechselseitige Umrechnung von x, y, z in Polarkoordinaten r, φ, θ beschreiben.

 Zur Begründung der Definition der θ-Koordinate betrachten wir das rechtwinklige Dreieck mit den Ecken

A  =  0,  B  =  (0, 0, z),  C  =  (x, y, z).

θ soll nach (2) der Winkel an der Ecke A dieses Dreiecks sein. Die Strecke von B nach C hat die Länge a = ∥(x, y, 0)∥. Damit ist das Dreieck ABC kongruent zum ebenen Dreieck mit den Ecken 0, (z, 0), (z, a), sodass θ = arg(z + i a).

 Für räumliche Polarkoordinaten gilt der folgende Integrationssatz:

 In der angegebenen Reihenfolge der Integration wird bei festgehaltenem r und θ über den Längengrad φ integriert. Polarkoordinaten mit festen Werten r und θ beschreiben Breitenkreise der Oberfläche der Kugel K_r mit Mittelpunkt 0 und Radius r. Läuft nun θ bei festem r von 0 nach π, so durchlaufen diese Breitenkreise vom Nordpol zum Südpol die gesamte Oberfläche der Kugel K_r. Läuft nun noch r von 0 nach unendlich, so füllen diese Kugeloberflächen den gesamten Raum aus. Der „Transformationsfaktor“ r² sin θ lässt sich dabei wie folgt verstehen: Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist das r²-Fache der Oberfläche einer Kugel mit Radius 1, trägt also das entsprechende Gewicht zum Integral bei. Weiter ist der Umfang des dem Winkel θ entsprechenden Breitenkreises auf K_r das sin(θ)-Fache des Umfangs des Äquatorialkreises auf K_r mit Radius r, sodass diese Breitenkreise ein entsprechendes Gewicht zum Integral beitragen.

Zylinderkoordinaten

 Im ℝ³ sind neben Polarkoordinaten auch Zylinderkoordinaten in Gebrauch. Ein Punkt (x, y, z) des Raumes hat dabei Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z′), falls (ρ, φ) ebene Polarkoordinaten von (x, y)  ∈  ℝ² sind und weiter z′ = z gilt. Die dritte Komponente ist also der übliche Höhenanteil, während die Koordinaten x und y durch die ebenen Polarkoordinaten ersetzt werden. ρ ist die Länge der Projektion des Vektors (x, y, z) auf die x-y-Ebene, und φ ist das Argument von x + i y im Winkelintervall [ 0, 2π [. (Da r oft stillschweigend für die Länge von (x, y, z) verwendet wird, ist es günstig, eine andere Variable zu wählen, und hier bietet sich ρ an.) Wie für die ebenen und räumlichen Polarkoordinaten werden Transformationsfunktionen Ψ und Φ erklärt:

Ψ(x, y, z)  =  (∥(x, y, 0)∥,  arctan₂(x, y),  z)  für alle (x, y, z)  ∈  ℝ³,

Φ(ρ, φ, z)  =  (ρ cos(φ),  ρ sin(φ),  z)  für alle (ρ, φ, z)  ∈  [ 0, ∞ [ × ℝ × ℝ.

 Ihrer Natur nach sind Zylinderkoordinaten besonders geeignet, Punkte einer bzgl. der z-Achse rotationssymmetrischen Menge zu beschreiben. Für eine Funktion g : [ 0, h ] → ] 0, ∞ [ ist

A  =  { (x, y, z) | z  ∈  [ 0, h ],  x² + y²  ≤  g(z)² }

der Körper, der entsteht, wenn wir [ 0, h ] als Teilmenge der z-Achse auffassen und die Funktion g um die z-Achse rotieren. Es gilt

Ψ[ A ]  =  { (ρ, φ, z) | z  ∈  [ 0, h ],  ρ  ∈  [ 0, g(z) ],  φ  ∈  [ 0, 2π ] }.

Die Menge auf der rechten Seite können wir als Darstellung von A in Zylinderkoordinaten auffassen.

 In der x-y-Ebene sind Zylinderkoordinaten ebene Polarkoordinaten, sodass bei Integration in Zylinderkoordinaten ein Transformationsfaktor ρ hinzukommt: