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Gradient, Divergenz und Rotation

Ergänzungsübung 1

Erklären Sie die geometrische Bedeutung des Gradienten als „Richtung des größten Anstiegs“ anhand von Skizzen für die Fälle:

(a)  f : ℝ → ℝ  (b)  f : ℝ2 → ℝ  (c)  f : ℝ2 → ℝ2.

Ergänzungsübung 2

Welche Bedeutung hat 〈 w, ∇ 〉 für w  ∈  ℝn und ∇ = (∂1, …, ∂n) ?

Ergänzungsübung 3

Sei f : P → ℝ, P ⊆ ℝ2 stetig differenzierbar. Weiter sei g : [ a, b ] → P mit

g′(t)  =  grad(f) (g(t))  für alle t  ∈  [ a, b ].

Welche geometrische Bedeutung haben g und f ∘ g?

Ergänzungsübung 4

Erklären Sie die Bedeutung der Divergenz div f : P → ℝn, P ⊆ ℝn, für die Fälle n = 1, 2, 3 als „Quelldichte“ von f durch einfache Beispiele und Skizzen (etwa f (x, y) = 1/2 (x, y) für n = 2). Welche „optischen Eigenschaften“ haben Vektorfelder mit div(f) (p) > 0, div(f)(p) = 0 und div(f)(p) < 0 ?

Ergänzungsübung 5

Wir betrachten differenzierbare Vektorfelder f : P → ℝ3, P ⊆ ℝ3 mit

(+)  f(x, y, z)  =  f(x, y, z′)  für alle (x, y, z), (x, y, z′)  ∈  P,
f3(x, y, z)  =  0  für alle (x, y, z)  ∈  P.

(a)

Beschreiben Sie die Eigenschaft (+) anschaulich.

(b)

Ordnen Sie jedem zweidimensionalen Vektorfeld g : Q → ℝ2 ein dreidimensionales Vektorfeld f : P → ℝ3 mit der Eigenschaft (+) zu.

(c)

Berechnen Sie rot f für Vektorfelder f mit (+).

(d)

Motivieren Sie die Definition

rotg(p)  =  ∂1f2(p)  −  ∂2f1(p)   ∈  ℝ

für differenzierbare zweidimensionale Vektorfelder g : Q → ℝ2.

(e)

Erläutern Sie den Begriff der Rotation für einige einfache zwei- und dreidimensionale Vektorfelder.

Ergänzungsübung 6

Konstruieren und zeichnen Sie ein Vektorfeld f : ℝ2 → ℝ2 mit

rot(f)(x, y)  =  1  für alle (x, y)  ∈  ℝ2,

wobei rot(f) wie in der vorangehenden Übung erklärt ist. Geben Sie allgemeiner für alle c  ∈  ℝ ein Vektorfeld f : ℝ2 → ℝ2 an, dessen Rotation konstant gleich c ist.

Ergänzungsübung 7

Welche Bedeutung hat ∆ f für f : P → ℝ, P ⊆ ℝ?

Ergänzungsübung 8

Kombinieren Sie Ihre Anschauungen über den Gradienten und die Divergenz, um eine Anschauung von

∆ f  =  div grad f

für f : P → ℝ, P ⊆ ℝ2, zu entwickeln. Berechnen Sie ∆ f (p) für einige Beispiele, um Hypothesen zu ∆ f (p) = 0 bzw. ∆ f (p) ≠ 0 zu überprüfen.

Ergänzungsübung 9

Berechnen Sie ∆ f für die Funktionen

(a)

f : ℝ3 − { 0 } → ℝ  mit  f(x, y, z)  =  ∥ (x, y, z) ∥−1,

(b)

g : ℝ3 − { 0 } → ℝ  mit  g(x, y, z)  =  ∥ (x, y, z) ∥−2,

(c)

h : ℝ2 − { 0 } → ℝ  mit  h(x, y)  =  log(∥ (x, y) ∥).