Die Partialbruchzerlegung

Wir zeigen folgenden algebraischen Satz, der in der Analysis insbesondere zur Integration rationaler Funktionen eingesetzt werden kann:

Satz (Partialbruchzerlegung von Leibniz und Johann Bernoulli)

Sei g : ℂ → ℂ ein Polynom vom Grad n ≥ 1,

g(z) = a (z − w₁)^m₁ (z − w₂)^m₂ … (z − w_r)^m_r für alle z  ∈  ℂ,

mit paarweise verschiedenen Nullstellen w₁, …, w_r. Weiter sei f : ℂ → ℂ ein Polynom mit −∞ ≤ deg(f) < deg(g). Dann gibt es eindeutig bestimmte c_{k, m}  ∈  ℂ, 1 ≤ k ≤ r, 1 ≤ m ≤ m_k, sodass für alle z  ∈  ℂ − { w₁, …, w_r } gilt

^f (z)_g(z) = ∑_{k, m}^{c_{k, m}}_{(z − w_k)^m} (Partialbruchzerlegung)

oder gleichwertig

(+) f (z) = ∑_{k, m} c_{k, m} ^g(z)_{(z − w_k)^m} = ∑_{k, m} c_{k, m} g_k(z) (z − w_k)^m_k − m,

wobei g_k(z) =

\frac{g (z)}{(z - w_{k})^{m_{k}}}

für alle 1 ≤ k ≤ r.

Die Koeffizienten c_{1, m₁}, …, c_{r, m_r} berechnen sich durch

(++) c_{k, m_k} = ^f (w_k)_{g_k(w_k)}.

Sind alle Nullstellen von g einfach, so erhält man so bereits alle Koeffizienten. Andernfalls können die c_{k, m} rekursiv berechnet werden, indem (+) für

f*(z) = $\frac{f (z) - \sum _{k} c_{k, m_{k}} g_{k} (z)}{(z - w_{1}) … (z - w_{r})}$ , g*(z) = a (z − w₁)^m₁ − 1 … (z − w_r)^m_r − 1

bestimmt wird. Die c_{k, m} sind darüber hinaus die eindeutige Lösung des aus (+) durch Koeffizientenvergleich erhaltenen Systems mit n Gleichungen und n Unbekannten c_{k, m}.

Wir nehmen hier und im Folgenden stets maximale Definitionsbereiche für rationale Funktionen an (durch stetige Fortsetzung), sodass zum Beispiel alle g_k Polynome auf ganz ℂ sind. Jedes Polynom g_k hat den Grad n − m_k und die Nullstellen von g ohne w_k. Anschaulich entsteht g_k aus g einfach durch Streichen des Terms (z − w_k)^m_k. Dieses Streichen lässt sich auch für g* durchführen.

Der Beweis des Satzes ist zum Glück kürzer als seine Formulierung:

Beweis

Wir zeigen die Existenz und Eindeutigkeit einer Darstellung (+) durch Induktion nach n. Dies genügt. Für n = 1 ist dies klar. Sei also n > 1. Nehmen wir (+) an, so ergibt Einsetzen von w₁, …, w_r, dass notwendig (++) gilt. Wir definieren also die c_{k, m_k} in dieser Weise. Weiter definieren wir f* und g* wie im Satz. Alle w_k sind Nullstellen des Zählers von f*, sodass f* ein Polynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist

f*(z) = $\frac{f (z) - \sum _{k} c_{k, m_{k}} g_{k} (z)}{(z - w_{1}) … (z - w_{r})}$ = ∑_{k, m < m_k} c_{k, m} g^*_k(z) (z − w_k)^{m_k − 1 − m}

mit eindeutigen c_{k, m}, denn

deg(f*) ≤ n − 1 − r < n − r = deg(g*).

Multiplikation von (z − w₁) … (z − w_r) ergibt

f (z) − ∑_k c_{k, m_k} g_k(z) = ∑_{k, m < m_k} c_{k, m} g_k(z) (z − w_k)^m_k − m

und damit die gewünschte eindeutige Darstellung von f.

Sind f, g reell, so ergibt sich aus dem Beweis, dass c_{k, m} und c_{k′, m} konjugiert komplex zueinander sind, falls dies für w_k und w_k′ gilt. Durch Zusammenfassung der entsprechenden Partialbruchpaare erhält man eine reelle Version.

Beispiele

(1)

Wir betrachten die reelle rationale Funktion

^f (x)_g(x) = ^{x³ + 6x² + 9x + 4}_{x⁴ + 2x³ − 7x² − 8x + 12} für alle x mit g(x) ≠ 0.

Der Nenner hat die einfachen reellen Nullstellen

w₁ = 2, w₂ = 1, w₃ = −2, w₄ = −3.

Wir schreiben c_k statt c_{k, 1} für die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. Zudem können wir in ℝ verbleiben. Damit wird (+) zu

x³ + 6x² + 9x + 4 = ∑_{1 ≤ k ≤ 4} c_k ^{(x − 2)(x − 1)(x + 2)(x + 3)}_{(x − w_k)}.

Durch Einsetzen von w₁, …, w₄ erhalten wir

54 = 20 c₁, 20 = −12 c₂, 2 = 12 c₃, 4 = −20 c₄.

Damit ergibt sich die Partialbruchzerlegung

²⁷_{10(x − 2)} − ⁵_3(x − 1) + ¹_6(x + 2) − ¹_5(x + 3).

(2)

Für die komplexe rationale Funktion

^f (z)_g(z) = ¹_{(z − i)²(z + i)} für alle z  ∈  ℂ − { i, − i }

lautet (+) mit w₁ = i, w₂ = − i, m₁ = 2, m₂ = 1

1 = ∑_{k, m} c_{k, m} ^{(z − i)²(z + i)}_{(z − w_k)^m} = c_{1, 1} (z − i)(z + i) + c_{1, 2} (z + i) + c_{2, 1} (z − i)².

Einsetzen von w₁ und w₂ liefert

1 = 2i c_{1, 2}, 1 = − 4 c_{2, 1},

und ein Vergleich des z²-Koeffizienten ergibt

c_{1, 1} = − c_{2, 1}.

Damit lautet die Partialbruchzerlegung (mit 1/i = − i)

¹_4(z − i) − ⁱ_{2(z − i)²} − ¹_4(z + i).

(3)

Leibniz hat mit Hilfe von Partialbruchentwicklung und Teleskopsummen Reihen berechnet. Einige Beispiele sind:

∑_{1 ≤ k ≤ n} ¹_k(k + 1) = ∑_{1 ≤ k ≤ n}(¹_k − ¹_k + 1) = 1 − ¹_n + 1,

∑_{1 ≤ k ≤ n} ¹_{k(k + 1)(k + 2)} = ∑_{1 ≤ k ≤ n}(¹_2k − ¹_k + 1 + ¹_2(k + 2)) =

¹₄ − ¹_2(n + 1) + ¹_2(n + 2) (vgl. auch 2. 3 in Analysis 1).

Ist deg(f) ≥ deg(g), so erhält man durch Polynomdivision gefolgt von Partialbruchzerlegung des Restquotienten die Darstellung

^f (z)_g(z) = h(z) + ∑_{k, m} ^{c_{k, m}}_{(z − w_k)^m} (allgemeine Partialbruchzerlegung)

mit einem Polynom h vom Grad deg(f) − deg(g).