Elliptische Integrale

 Wir haben gesehen, dass jede rationale Funktion eine elementare Stammfunktion besitzt. Die Berechnung der Kreisfläche und viele andere Beispiele zeigen, dass im Integranden oft auch Wurzelausdrücke auftauchen. Folgende Verstärkung des Ergebnisses besagt, dass die elementaren Funktionen in gewissen Fällen noch ausreichen:

 Der Beweis des Satzes besteht darin, ein Integral über h durch geeignete Substitutionen in ein Integral über eine rationale Funktion zu überführen. Anstelle einer Durchführung blicken wir nach vorne: Mit dem Ergebnis haben wir die Grenze der elementaren Funktion erreicht. Ist nämlich h wie im Satz mit einer Wurzelfunktion s : [ a, b ] → [ 0, ∞ [ der Form

s(x)  =  $\sqrt{{\mathrm{a}}_4{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{a}}_3{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{a}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{a}}_0}$  für alle x  ∈  [ a, b ],

so liegen die Stammfunktionen H von h im Allgemeinen außerhalb des Reichs der elementaren Funktionen. Ein Integral über eine Funktion dieses Typs heißt ein elliptisches Integral. Die Bezeichnung beruht darauf, dass derartige Integrale bei der Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen auftauchen (dies motiviert auch die Beschränkung auf den Grad 4). Man muss neue Funktionen einführen, um elliptische Integrale behandeln zu können − ganz so, wie man den Logarithmus und den Arkustangens einführen muss, um rationale Funktionen integrieren zu können. Überraschend ist nun, dass sich alle elliptischen Integrale durch geeignete Transformationen mit Hilfe von drei neuen Grundintegralen bestimmen lassen. Die drei Grundintegrale lassen sich in verschiedenen äquivalenten Formen schreiben. Wir wählen eine Sinus-Formulierung, da uns Beispiele für sie schon begegnet sind:

Elliptische Integrale in Legendre-Form

F(φ, k)  =  ∫^φ₀$\frac{\mathrm{d}\mathrm{\psi }}{\sqrt{1-{\mathrm{k}}^2{\text{sin}}^2\mathrm{\psi }}}$, (erster Art)

E(φ, k)  =  ∫^φ₀$\sqrt{1-{\mathrm{k}}^2{\text{sin}}^2\mathrm{\psi }}$ dψ, (zweiter Art)

Π(φ, α², k)  =  ∫^φ₀$\frac{\mathrm{d}\mathrm{\psi }}{(1-\mathrm{\alpha }{\mathrm{}}^2{\text{sin}}^2\mathrm{\psi })\sqrt{1-{\mathrm{k}}^2{\text{sin}}^2\mathrm{\psi }}}$. (dritter Art)

 Die Zahl φ heißt die Amplitude oder das Argument der elliptischen Integrale, k ihr Modul, und α² der Parameter des dritten Typs. Wir beschränken uns hier auf reelle Integranden. Genauer betrachten wir die Integrale im Folgenden für

(φ, k)   ∈   ℝ × [ 0, 1 [, (für die erste Art)

(φ, k)   ∈   ℝ × [ 0, 1 ], (für die zweite Art)

(φ, α², k)   ∈   ℝ × [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, (für die dritte Art)

wobei wir im ersten und dritten Integral zusätzlich auch k = 1 oder α = 1 zulassen, dann aber φ auf ] − π/2, π/2 [ einschränken. Für α² = 0 geht das dritte Integral in das erste über.

 Traditionell werden die drei Typen auch als „unvollständige elliptische Integrale“ bezeichnet. Integriert man bis zur festen oberen Grenze π/2, so spricht man von vollständigen elliptischen Integralen und definiert

K(k)  =  F(π/2, k),  E(k)  =  E(π/2, k),  Π(α², k)  =  Π(π/2, α², k).

 Durch die Substitution „t = sin ψ“ erhält man die äquivalente Darstellung mit Quadratwurzeln über Polynome höchstens vierten Grades:

Elliptische Integrale in Jacobi-Form

F(φ, k)  =  ∫^{sin φ}₀$\frac{\text{dt}}{\sqrt{1-{\mathrm{t}}^2}\sqrt{1-{\mathrm{k}}^2{\mathrm{t}}^2}}$, (erster Art)

E(φ, k)  =  ∫^{sin φ}₀$\frac{\sqrt{1-{\mathrm{k}}^2{\mathrm{t}}^2}}{\sqrt{1-{\mathrm{t}}^2}}$ dt, (zweiter Art)

Π(φ, α², k)  =  ∫^{sin φ}₀$\frac{\text{dt}}{(1-\mathrm{\alpha }{\mathrm{}}^2{\mathrm{t}}^2)\sqrt{1-{\mathrm{t}}^2}\sqrt{1-{\mathrm{k}}^2{\mathrm{t}}^2}}$. (dritter Art)

zum elliptischen Legendre-Integral erster Art

zum elliptischen Legendre-Integral zweiter Art

zum elliptischen Legendre-Integral dritter Art

 Die elliptischen Integrale haben zahlreiche historisch und inhaltlich bedeutsame Anwendungen. Vier davon sind uns in diesem Buch begegnet: