10. Umlaufzahlen

Wir zählen, wie oft ein Weg γ oder allgemeiner eine Kurve α um einen Punkt p der Ebene herumläuft. Dabei führt ein Umlauf gegen den Uhrzeigersinn zu + 1 und ein Umlauf im Uhrzeigersinn zu −1. Die Umläufe können dabei beliebig verbogen sein, wodurch das Zählen im wahrsten Sinne des Wortes recht verwickelt werden kann. Für Wege erhalten wir eine Integraldarstellung mit Hilfe des Hauptbeispiels 1/(z − p). Um die Zählung für eine Kurve durchzuführen, schreiben wir die Kurve im Exponenten der Exponentialfunktion in stetiger Weise durch Zusammenfügen von Logarithmen mit, sodass jeder Umlauf zu einer Veränderung von ±2π auf der imaginären Achse führt. Mit Hilfe der Umlaufzahlen können wir das Innere und Äußere einer Kurve definieren. Diese Begriffe sind in der Cauchy-Integrationstheorie von fundamentaler Bedeutung.