Das Innere und Äußere einer Kurve
Mit Hilfe der Umlaufzahlen können wir definieren:
Definition (Inneres und Äußeres eines Weges)
Sei α eine geschlossene Kurve in ℂ, und sei Gα = ℂ − spur(α). Dann setzen wir:
int(α) = { z ∈ Gα | indz(α) ≠ 0 },(Inneres von α)
ext(α) = { z ∈ Gα | indz(α) = 0 }.(Äußeres von α)
Diese Begriffe werden im zweiten Abschnitt eine wichtige Rolle spielen. Eine geschlossene Kurve teilt die Ebene durch Entfernung ihrer Spur in Komponenten auf. Wir haben gesehen, dass Indexfunktion ist auf jeder Komponente konstant und ganzzahlig ist. Da die Spur von α kompakt ist, gibt es eine eindeutige unbeschränkte Komponente von Gγ. Dort ist die Indexfunktion 0, sodass die unbeschränkte Komponente immer eine Teilmenge des Äußeren einer Kurve ist. Im Allgemeinen gibt es weitere Komponenten im Äußeren.
Eine wichtige Klasse von Wegen ist:
Definition (einfach geschlossene Wege)
Ein Kurve α in ℂ heißt einfach geschlossen, wenn gilt:
(a) | indα(z) ∈ { 0, 1 } für alle z ∈ Gα, |
(b) | { z ∈ Gα | intα(z) = 1 } ist zusammenhängend. |
Alle üblichen in der Praxis zur Berechnung von Integralen verwendeten geschlossenen Wege sind einfach geschlossen.
Dass anschauliche Sätze über geschlossene Wege schwer zu beweisen sein können, zeigt das folgende berühmte Ergebnis über injektive Kurven. Eine geschlossene Kurve α : [ a, b ] heißt eine Jordan-Kurve, falls α↾[ a, b [ injektiv ist. Eine Jordan-Kurve ist überschneidungsfrei und besucht nur am Ende − wie jede geschlossene Kurve − einen Punkt der Ebene ein zweites Mal. Anschaulich einleuchtend, aber schwer zu zeigen ist:
Satz (Jordanscher Kurvensatz)
Sei α eine Jordan-Kurve. Dann ist α einfach geschlossen und Gα hat genau zwei Komponenten. Auf der unbeschränkten Komponente ist die Umlaufzahl gleich 0, auf der beschränkten Komponente ist sie gleich 1.
Der Satz wurde 1887 von Camille Jordan bewiesen. Sein Beweis galt lange als fehlerhaft, wurde aber 2007 von Thomas Hales rehabilitiert.