2. Die komplexe Differenzierbarkeit

Komplexe Differentialquotienten lassen sich wie für die reellen Zahlen einführen. Es zeigt sich, dass wir einen sehr geschmeidigen Begriff erhalten, der alle aus dem Reellen bekannten Gegenbeispiele aus seinem Königreich vertreibt. Eine Funktion f : ℂ → ℂ unterliegt als Funktion der Form f : ℝ2 → ℝ2 der Differentialrechnung der mehrdimensionalen reellen Analysis. Die komplexe Differenzierbarkeit an einer Stelle p bedeutet stärker als die totale Differenzierbarkeit, dass:

(1)

das Differential von f bei p entweder die Nullabbildung oder eine Drehstreckung ist (und nicht nur eine beliebige lineare Abbildung),

(2)

die partiellen Ableitungen von f die Differentialgleichungen

∂1 f1 (p)  =  ∂2 f2 (p),  ∂1 f2 (p)  =  − ∂2 f1 (p)

von Cauchy und Riemann erfüllen,

(3)

die Jacobi-Matrix Jf(p) eine ℂ-lineare (und nicht nur ℝ-lineare) Abbildung darstellt,

Die drei Eigenschaften sind äquivalent, betonen aber verschiedene Sichtweisen: Geometrie, Differentialgleichungen, Algebra.