3. Harmonische Funktionen

Wir gönnen uns einen Ausflug in einen großen Bereich der reellen mehrdimensionalen Analysis. Aus den Riemann-Cauchy-Gleichungen folgt unmittelbar, dass eine holomorphe Funktion f die partielle Differentialgleichung ∆ f = 0 erfüllt (unter der Annahme der zweimaligen stetigen partiellen Differenzierbarkeit; sie gilt für holomorphe Funktionen automatisch, was aber jetzt noch nicht zu sehen ist). Die Untersuchung der Gleichung ∆ f = 0 für allgemeine (nicht notwendig holomorphe) führt zur Theorie der harmonischen Funktionen, die viele Gemeinsamkeiten mit der Theorie der holomorphen Funktionen aufweist. Wir gehen hier nur die ersten Schritte, um unser Thema nicht zu verfehlen. Ein wenigstens kurzer Ausblick auf eine große Welt ist aber hier fast zwingend.