Weitere Quadratwurzelfunktionen
Eine komplexe Funktion f : P → ℂ heißt eine (Quadrat-) Wurzelfunktion auf P, falls f (z)2 = z für alle z ∈ P. Für jedes z ∈ ℂ haben wir nur zwei Möglichkeiten, eine der beiden Wurzeln von z (nämlich sqrt+(z) und − sqrt+(z)) als f (z) zu definieren. Zudem werden wir dies soweit wie möglich stetig tun und P so groß wie möglich machen. Damit reduziert sich die Konstruktion einer Wurzelfunktion bis auf ein Vorzeichen auf die Frage, wo wir den Schnitt platzieren. Dort ist die Wurzelfunktion f entweder nicht definiert oder unstetig. Unsere biserige Wahl war die Schnittlinie ] ∞, 0 ]. Wir werden gleich sehen, dass dies nicht immer die beste Wahl ist.
Beispiel
Sei f : ℂ → ℂ mit
f (z) = i sqrt+(− z) für alle z ∈ ℂ.
Für jedes z ∈ ℂ gilt
f (z)2 = i2 (sqrt+(−z))2 = (−1) (− z) = z,
sodass f eine Wurzelfunktion ist. Die Rechnung
„f (z) = i = = = = sqrt+(z)“,
ist erneut fehlerhaft (vgl. die Diskussion oben). Die beiden Funktion f und sqrt+ sind verschieden. Es gilt zum Beispiel
f (4) = i sqrt+(− 4) = i (2i) = − 2, sqrt+(4) = 2.
Allgemein definieren wir:
Definition (Wurzel mit Halbstrahl als Schnittlinie)
Sei φ ∈ ] −π, π ], und sei ℂ−φ = ℂ* − { (r, φ)polar | r > 0 } die entlang des Halbstrahls mit Winkel φ geschlitzte Zahlenebene. Dann ist die φ-Wurzel sqrtφ : ℂ−φ → ℂ definiert durch
sqrtφ(z) = (1, (φ − π)/2)polar sqrt((1, π − φ)polar z) für alle z ∈ ℂ−φ.
Analog ist die +-Version sqrt+φ : ℂ → ℂ definiert (mit sqrt+).
Quadrieren liefert, dass die Funktionen tatsächlich Wurzelfunktionen sind. Man zeigt weiter, dass der Halbstrahl mit Winkel φ die Schnittlinie der φ-Wurzel ist. Mit sqrtφ ist auch wieder − sqrtφ eine Wurzelfunktion (mit gleichem Schnitt aber am Nullpunkt gespiegelten Farben). Die Funktion sqrt entspricht dem Fall φ = π, obige Funktion f (z) = i sqrt(−z) ist die Wurzelfunktion − sqrt+0 (vgl. das zweite Diagramm).
Die komplexe Quadratwurzel sqrt+π/2 : ℂ → ℂ.
Die komplexe Quadratwurzel − sqrt+0. Es gilt − sqrt+0(x) = i sqrt+(−z) für ale z ∈ ℂ.