Wurzelanwendung auf Parabeln

 Dass die Standardwurzel sqrt nicht immer optimal ist, zeigt ein einfaches Beispiel. Wir betrachten die Funktion g : ℂ → ℂ mit

g(z)  =  z² − 1  für alle z  ∈  ℂ.

Nun definieren wir f, f₀ : ℂ → ℂ durch

f (z)  =  sqrt⁺(z)  =  $\sqrt{{\mathrm{z}}^2-1}$,

f₀(z)  =  sqrt⁺₀(z)  =  (1, − π/2)_polar sqrt⁺((1, π)_polar (z² − 1))  =  − i $\sqrt{1-{\mathrm{z}}^2}$.

Die Funktion f hat ein Schnittkreuz im Nullpunkt, die Funktion f₀ dagegen die beiden Schnittlinien C₀ = ] −∞, 1] und C₁ = [ 1, ∞ [. Wollen wir also eine im Nullpunk und genauer auf der doppelt geschlitzten Ebene ℂ^− − = ℂ − (C₀ ∪ C₁) stetige Funktion, so ist die Wurzel f₀ geeignet, aber nicht f (vgl. die Abbildungen).

 Die Lösungesformel für quadratische Gleichungen liefert immer korrekte Lösungen. Oft wird aber ein Parameter der Gleichung als Variable behandelt, und dann sind wir an stetigen Lösungsfunktionen interessiert. Ist etwa

z²  −  2 w z  +  1  =  0

in Abhängigkeit von w zu lösen, so hat die Wurzel in der Lösungsformel

z_1, 2  =  $\frac{\mathrm{w}\text{±}\sqrt{4{\mathrm{w}}^2-4}}{2}$  =  w ± $\sqrt{{\mathrm{w}}^2-1}$

die Form der obigen Funktion g, sodass wir als Lösungsfunktion in w die Funktion sqrt₀ oder − sqrt₀ als Wurzel wählen, um eine Stetigkeit im Nullpunkt zu erreichen. Kurz: Wir verwenden anstelle der üblichen Lösungsformel für die Gleichung die Variante

z_1, 2  =  w ± i $\sqrt{1-{\mathrm{w}}^2}$

Wir werden bei den rationalen Funktionen und den Arkus-Funktionen hierauf zurückommen.

 Eine weitere vielleicht verblüffende Entdeckung können wir machen, wenn wir andere φ-Wurzeln auf z² − 1 anwenden. Wir erhalten zum ersten Mal gebogene Schnittlinien, vgl. auch hierzu die folgenden Diagramme.

 Für sich genommen von Interesse ist die Funktion h : ℂ → ℂ mit

h(z)  =  sqrt⁺(1 − z²)  für alle z  ∈  ℂ.

Die reelle Form h(x) mit |x| ≤ 1 wird in der Trigonometrie häufig verwendet. Im Gegensatz zu sqrt⁺(z² − 1)) gilt die Faktorisierung (Übung):

h(z)  =  sqrt⁺(1 + z) sqrt⁺(1 − z)  für alle z  ∈  ℂ.