6. Rationale Funktionen

Die komplexen rationalen Funktionen ergeben sich wie im Reellen durch die Division zweier Polynome. Durch die dabei auftretenden Pole entstehen Definitionsbereiche mit endlich vielen Punktierungen. Das einfachste und zugleich wichtigste Beispiel ist die Funktion f : ℂ* → ℂ mit f (z) = 1/z für alle z ≠ 0 mit ihrem einfachen Pol bei 0. Diese Hyperbel spielt in der komplexen Integrationstheorie eine fundamentale Rolle. Eine Stufe komplizierter, aber immer noch einfach zu definieren sind die Kutta-Joukowsky-Abbildung und die Cayley-Abbildung mit ihren überraschenden Biholomorphie-Eigenschaften. Nach diesen konkreten Beispielen erweitern wir die analytischen Darstellungsmöglichkeiten: Die rationalen Funktionen besitzen wie die Polynome eine unendliche Variante. Wir führen die doppelt unendlichen Laurent-Reihen ein, die in der Integrationstheorie einen prominenten Platz einnehmen werden.