Die Exponentialreihe
Die komplexe Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ ist definiert durch
exp(z) = ∑n zn/n! = 1 + z + z2/2 + z3/6 + … für alle z ∈ ℂ.
Für alle n sei
sn(z) = ∑k ≤ n zk/k!,(Partialsumme, n-te Polynomapproximation)
sodass exp(z) = limn sn(z). Die Konvergenz ergibt sich aus dem Quotientenkriterium, und genauer gilt:
Restgliedabschätzung
Für alle n0 ∈ ℕ gilt:
|∑n ≥ n0 zn/n!| ≤ 2 zn0/n0! für alle z ∈ ℂ mit |z| ≤ (n0 + 1)/2.
Der Fehler
|exp(z) − sk(z)| = |∑n ≥ k + 1 zn/n!|
ist also für alle k und im Betrag hinreichend klein z beschränkt durch das Doppelte des ersten vernachlässigten Summanden.
Die wohl wichtigste Eigenschaft der Exponentialfunktion ist:
Das Additionstheorem
exp(z + w) = exp(z) · exp(w) für alle z, w ∈ ℂ.
Das Additionstheorem rechtfertigt die Schreibweise ez anstelle von exp(z). Für alle x, y ∈ ℝ gilt:
exp(x + iy) = exp(x) exp(iy),
|exp(iy)|2 = exp(iy) exp(iy) = exp(iy) exp(− iy) = exp(iy − iy) = exp(0) = 1.
Ein Wert exp(z) = exp(x + iy) ergibt sich also durch eine Streckung des Punktes exp(iy) auf dem Einheitskreis um den positiven reellen Faktor exp(x). Eine genauere Untersuchung zeigt das umwerfende Ergebnis (vgl. Analysis 1):
Satz (Kreisaufwicklung, Eulersche Formel, Eulersche Identität)
Die Exponentialfunktion wickelt die imaginäre Achse längentreu (mit der Periode 2π) auf den Einheitskreis auf: Es gilt ei y = (1, y)polar = cos y + i sin y für alle y ∈ ℝ. Speziell gilt ei π + 1 = 0.
Damit ist die Abbildungsdynamik vollständig beschrieben.
Die komplexe Exponentialfunktion exp auf [ −π, π ]2. Eine Waagrechte besitzt einen konstanten von links nach rechts exponentiell verblassenden Farbton (Halbstrahl in ℂ). Eine Senkrechte durchläuft das Farbspektrum (Kreis in ℂ, Einheitskreis bei 0). Die Funktion ist 2π i-periodisch und frei von Nullstellen.
Ohne Gitter auf [ −2π, 2π ]2 mit zwei Perioden (Bändern) auf der imaginären Achse.
3d-Plot als Höhenlandschaft |exp(z)|
Die Polynomapproximation s3(z) = 1 + z + z2/2 + z3/6.
Die Approximation s5(z) = ∑n ≤ 6 zn/n!. Die fünf Nullstellen des Polynoms umschließen einen Bereich, dessen Form bereits das finale Bild erkennen lässt.
Die Approximation s6 als 3d-Plot im Betrag.