Allgemeine Exponentialfunktionen
Wie im Reellen können wir die Exponentialfunktion in Kombination mit dem Logarithmus zur Modifikation der Basis verwenden. Sei hierzu a ∈ ℂ−. Dann definieren wir die Exponentialfunktion expa : ℂ → ℂ zur Basis a durch
expa(z) = exp(z log(a)) für alle z ∈ ℂ,
mit dem Hauptzweig log des Logarithmus. Wir verwenden auch wieder die Exponentialschreibweise az anstelle von expa(z). Mit log+ anstelle von log ergibt sich exp+a : ℂ → ℂ auch für Basen a ∈ ] −∞, 0 [.
Ist die Basis a reell, so gilt mit r = log(a), dass
expa(z) = exp(z log(a)) = exp(r z).
Die Stelle z wird also vor der Anwendung von exp mit r skaliert. Dadurch ergibt sich anstelle von 2πi die Minimalperiode 2πi/r. Die Basis a = 1 ist wieder ein Sonderfall: Es gilt exp1(z) = exp(z log(1)) = exp(0) = 1 für alle z ∈ ℂ.
Interessanter sind Basen mit imaginärem Anteil. Für a = (r, φ)polar ∈ ℂ− gilt
expa(z) = exp(z log(a)) = exp(z (log(r) + i φ)) = exp(z log(r)) exp(φ i z).
Im Spezialfall r = 1 ist log(r) = 0 und damit
expa(z) = exp(φ i z).(Basen auf dem Einheitskreis)
Hier wird die Stelle z um π/2 rotiert (Multiplikation mit i) und dann um den Faktor φ ∈ ] −π, π [ skaliert, bevor die Exponentialfunktion angewendet wird.
Beispiel: Berechnung von i hoch i
Es gilt i = (1, π/2)polar. Nach der Formel für Basen auf dem Einheitskreis gilt also (mit a = z = i):
ii = expi(i) = exp(π/2 · i2) = exp(− π/2).
Die Zahl ii ist also reell. Diese Berechnung geht auf Euler zurück.
Winkelrechnung mit i hoch z
Für alle z ∈ ℂ gilt iz = exp(z log(i)) = exp(i z π/2). Für reelle z führt dies zu einem kompakten Winkelkalkül. Beispielsweise gilt i1/3 = (1, π/6)polar (was man natürlich auch durch die 3-te Wurzel einsehen kann). Der Ausdruck i1/3 ist noch griffiger als ei π/6. Die Winkelhalbierende ist als Menge i1/2 ℂ.
Die allgemeinen Exponentialfunktionen lassen sich für a ≠ 1 nach einer geeigneten Einschränkung umkehren. Es ergeben sich die allgemeinen Logarithmen loga und erweitert log+a. Die Basis e genügt aufgrund der für alle a ≠ 1 und z ≠ 0 gültigen Basisumrechnung log+a(z) = log+(z)/log+(a).
Die Exponentialfunktion expi : ℂ → ℂ zur Basis i. Die Werte auf der i-Achse sind reell. Es gilt expi(z + 4k) = expi(z) für alle k ∈ ℂ, und genauer ist 4 die Minimalperiode. Genau die Werte auf der x-Achse haben den Betrag 1. (Nachweise als Übung.)
Die Exponentialfunktion exp1 + i : ℂ → ℂ zur Basis 1 + i.
Die Exponentialfunktion zur Basis 1/4(1 + i), die im Betrag kleiner als 1 ist.
Schließlich noch exp−1 unter Verwendung von log+. Es gilt
exp−1(z) = (−1)z = exp(z log+(−1)) = exp(i z π)
Die Minimalperiode ist 2.