1. Der Integralsatz für Sterngebiete
Integralsätze von Cauchy gibt es in verschiedenen Varianten. Sie beschreiben Bedingungen, die die Wegunabhängigkeit von Integralen garantieren. Dabei wird ein Gebiet G fixiert. Nun betrachten wir einen geschlossenen Weg γ in G und fragen, unter welchen topologischen Bedingungen I(f, γ) = 0 für alle f ∈ 𝒪(G) gilt. Die „topologischen Bedingungen“ betreffen dabei sowohl das Gebiet G als auch den Weg γ. Weiter fragen wir, unter welchen topologischen Bedingungen I(f, γ) = 0 für alle geschlossenen Wege γ in G und alle f ∈ 𝒰(G) gilt (doppelter Allquantor). Die „topologischen Bedingungen“ der zweiten Frage betreffen nur noch das Gebiet G.
Die einfachsten Beispiele für topologisch gute Definitionsbereiche sind konvexe Gebiete und die allgemeineren Sterngebiete. Wir beweisen den klassischen Integralsatz von Cauchy für Sterngebiete und diskutieren im folgenden Kapitel eine allgemeinere Version, die der topologischen Natur des Phänomens besser gerecht wird.
Das Phänomen
„1/z hat ein Kreisintegral ungleich 0“, „1/z2 hat ein Kreisintegral 0“
können wir mit den Integralsätzen alleine nicht verstehen, da beide Funktionen den gleichen Definitionsbereich ℂ* mit seiner topologisch auffälligen Definitionslücke besitzen. Die Integralsätze bilden jedoch die Grundlage, um dieses Phänomen analysieren zu können. Und auch wenn sie nicht gleich alle Fragen beantworten, so ziehen sie eine Flut von tiefen Sätzen nach sich, unter denen die Potenzreihenentwicklung herausragt.