Die komplexen Zahlen

Wir stellen das Wichtigste über den Körper der komplexen Zahlen zusammen. Dabei liegt ein Schwerpunkt auf den algebraischen und geometrischen Interpretationen der komplexen Multiplikation. Mit den Methoden der linearen Algebra können wir die komplexe Multiplikation durch Matrizen beschreiben. Dadurch werden wichtige Eigenschaften der komplexen Differentialrechnung vorbereitet. Es lohnt also, falls nicht bekannt, sich die Begriffe und Ergebnisse „konforme Matrix“ (geometrisch) und „ℂ-lineare Matrix“ (algebraisch) anzueignen. Als Matrizen-Klasse unterscheiden sie sich nur um die Null-Matrix, die ℂ-linear, aber nicht konform ist. Weiter wiederholen wir Grenzwerte von unendlichen Folgen, Reihen und Produkten. Die wichtigsten Reihen sind wie in der reellen Analysis

Eine Grundkenntnis der komplexen Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ,

exp(z)  =  e^z  =  ∑_n zⁿ/n!

setzen wir voraus (vgl. Analysis 1). Genauer werden wir diese Funktion im ersten Abschnitt in einem eigenen Kapitel diskutieren. Für alle z, w  ∈  ℂ und alle x, y  ∈  ℝ gilt:

exp(z + w)  =  exp(z) exp(w),(Multiplikationstheorem)

exp(x + i y)  =  exp(x) exp(i y)  mit exp(x)  ∈  ℝ,

exp(i y)  =  cos(x) + i sin(y)  ∈  K₁,(Eulersche Formel, Kreisaufwicklung)

mit dem Einheitskreis

K₁  =  { z  ∈  ℂ | |z| = 1 }  =  { cos φ + i sin φ | φ  ∈  [ 0, 2π [ }.