Inhalt
Vorwort
Notationen und Konventionen
Zahlen
Matrizen
Komplexe Zahlenmengen
Funktionen
Die komplexen Zahlen
Der Körper der komplexen Zahlen
Polarkoordinaten und Argument
Die Geometrie der komplexen Multiplikation
Komplexe Multiplikation und Matrizen
Konvergente Folgen
Unendliche Reihen
Unendliche Produkte
Topologie
Die Topologie der komplexen Zahlen
Stetige Funktionen
Wegzusammenhang
Konvergente Funktionenfolgen
Normal konvergente Funktionenreihen
Reelle Vertauschungssätze
Visualisierung
Domain Coloring
Die inverse Farbkreismethode
Visualisierung durch Vektorfelder
Pfeildiagramme
Betrags- und Winkel-Landschaften
1. Abschnitt Elementare Funktionen, Ableitungen, Wegintegrale
1. Geraden
Geraden durch den Nullpunkt
Allgemeine Geraden
2. Die komplexe Differenzierbarkeit
Differenzierbarkeit und Holomorphie
Lineare Approximation
Komplexe und totale Differenzierbarkeit
Komplexe Ableitung und Jacobi-Matrix
Erhalt von Winkel und Orientierung
Der Kalkül des Differenzierens
Biholomorphe Funktionen
Stammfunktionen
Die Wirtinger-Operatoren
3. Harmonische Funktionen
Der Laplace Operator
Das Maximumsprinzip
4. Parabeln und Quadratwurzeln
Die Normalparabel
Quadratwurzelfunktionen
Quadrat einer Wurzel und Wurzel eines Quadrats
Inverse Betrachtung
Berechnung von Wurzeln
Allgemeine Parabeln
Weitere Quadratwurzelfunktionen
Wurzelanwendung auf Parabeln
5. Polynome und Potenzreihen
Polynome und Einheitswurzeln
Allgemeine Wurzeln
Potenzreihen
6. Rationale Funktionen
Rationale Funktionen und ihre Polstellen
Die Kutta-Joukowsky-Abbildung
Die Cayley-Abbildung
Die Partialbruchzerlegung
Laurent-Reihen
Konvergenz von Laurent-Reihen
7. Wegintegrale
Kurven und Wege
Kreisketten für Kurven
Wegintegrale
Ein Vergleich mit Kurvenintegralen erster Art
Strecken und Kreise
Operationen mit Kurven
Das Hauptbeispiel
Ausblick: Wegintegrale über rektifizierbare Kurven
8. Der Hauptsatz im Komplexen
Der erste Hauptsatz: Berechnung von Integralen
Wegunabhängigkeit
Der zweite Hauptsatz: Konstruktion von Stammfunktionen
9. Die komplexe Exponentialfunktion und Logarithmen
Die Exponentialreihe
Der Logarithmus
Expolarkoordinaten
Allgemeine Exponentialfunktionen
Potenzfunktionen
10. Umlaufzahlen
Die Umlaufzahl
Lifting eines Weges durch Integration
Lifting einer Kurve
Das Innere und Äußere einer Kurve
Die Möbius-Nummerierung
11. Die trigonometrischen Funktionen
Kosinus und Sinus
Der Satz des Pythagoras
Kutta-Joukowsky-Darstellung
Tangens und Kotangens
Sekans und Kosekans
12. Die Arkusfunktionen
Die Arkusfunktionen
Logarithmus-Darstellung der Arkusfunktionen
13. Die hyperbolischen Funktionen
Die hyperbolischen Funktionen
Die Area-Funktionen
2. Abschnitt Die komplexe Integrationstheorie
1. Der Integralsatz für Sterngebiete
Ein Wechsel der Perspektive
Das Lemma von Goursat-Pringsheim
Konvexe Mengen und Sterngebiete
Wegbegradigung
Existenz holomorpher Logarithmen
Das Integral über exp(i z)/z und der Kardinalsinus
2. Der Integralsatz für homotope Wege
Weganpassung
Homotope Kurven
Der Integralsatz für homotope Wege
Die Fundamentalgruppe eines Gebiets
3. Integralformeln und Entwicklungssätze
Die Integralformel für Kreisscheiben
Berechnung von Integralen
Mittelwertgleichung und Mittelwertungleichung
Der Entwicklungssatz
Die Cauchy-Integralformeln für die Ableitungen
Ablesen des Konvergenzradius
Geometrische Beschreibung der Holomorphie
Stopp der Entwicklung durch singuläre Punkte
Integralformel und Entwicklungssatz für Kreisringe
4. Fundamentale Folgerungen
Der Identitätssatz
Der Hebbarkeitssatz von Riemann
Der Satz von Liouville
Offenheitssatz und Gebietstreue
Das Biholomorphiekriterium
Das Maximums- und Minimumsprinzip
Der Konvergenzsatz von Weierstraß
5. Isolierte Singularitäten und Meromorphie
Isolierte Singularitäten
Hebbare Singularitäten
Polstellen
Wesentliche Singularitäten
Meromorphe Funktionen
6. Homologe Wege
Homologe Wege
Der Differenzenquotient als Funktion
Nullhomologie und Integration
7. Der Residuensatz
Residuen
Der Residuensatz
Die Zählformel und der Satz von Rouché
Halbkreisintegrale
Rechtecksintegrale
3. Abschnitt Analytische Zahlentherie
1. Die Riemannsche Zetafunktion
Dirichlet-Reihen
Die Zeta-Funktion
2. Die Gammafunktion
Fakultät und fallende Potenz
Die Gammafunktion
Eigenschaften der Gammafunktion
Die Digammafunktion
Übungen
Die komplexen Zahlen
1. 1 Geraden
1. 2 Die komplexe Differenzierbarkeit
1 .3 Harmonische Funktionen
1. 4 Parabeln und Quadratwurzeln
1. 5 Polynome und Potenzreihen
1. 6 Rationale Funktionen
1. 7 Wegintegrale
1. 8 Der Hauptsatz im Komplexen
1. 9 Die komplexe Exponentialfunktion und Logarithmen
1. 10 Umlaufzahlen
1. 11 Die trigonometrischen Funktionen
1. 12 Die Arkusfunktionen
1. 13 Die hyperbolischen Funktionen
2. 1 Der Integralsatz für Sterngebiete
2. 2 Der Integralsatz für homotope Wege
2. 3 Integralformeln und Entwicklungssätze
2. 4 Fundamentale Folgerungen
2. 5 Isolierte Singularitäten und Meromorphie
2. 6 Homologe Wege
2. 7 Der Residuensatz
Anhänge
1. Literatur
2. Notationen
3. Index