Notationen und Konventionen

Dieser Abschnitt versammelt wichtige Notationen, Konventionen und Sprechweisen. Die mathematische Sprache ist international vorbildlich einheitlich, und es gibt nur wenige Punkte, die hervorgehoben werden müssen. In Kurzfassung sind dies für dieses Buch:

(1)	Die natürlichen Zahlen ℕ enthalten die Null und die Eins gilt nicht als Primzahl. (Beides kann man anders handhaben, wenn man möchte.)

(2)

Wir schreiben „A ⊆ B“ für „Teilmenge“ und A ⊂ B für „echte Teilmenge“, in Analogie zu ≤ und < für Zahlen und strikte bzw. nicht strikte partielle Ordnungen. (Das ist so natürlich, dass es keine Motivation braucht, aber viele Analytiker verwenden das echte Inklusionszeichen für die schwache Inklusion, um sich den Unterstrich zu sparen.)

(3)	Die Differenz zweier Mengen notieren wir (wie Hausdorff) einfach mit Minus, sodass A − B = { a  ∈  A \| a  ∉  B }.

(4)

Für eine Funktion f : A → B nennen wir A den Definitionsbereich (wie üblich) und B einen Wertevorrat (wie vielleicht weniger üblich) von f. Bild und Urbild schreiben wir mit eckigen Klammern, sodass

f [ X ] = { f (a) | a  ∈  X }, f ⁻¹[ Y ] = { a | f (a)  ∈  Y }.

Speziell ist f [ A ] der Wertebereich von f.

(5)

Wir verwenden bevorzugt den Buchstaben P für den Definitionsbereich einer reellen oder komplexen Funktion. Dabei steht „P“ für „Punktmenge“ in der Tradition der Arbeiten von Cantor, aus der auch die Topologie hervorging. In der Funktionentheorie sind die Definitionsbereiche holomorpher Funktionen offen, sodass in

„f : P → ℂ holomorph“

die Menge P immer automatisch offen (und nichtleer) ist. Die Notation hat den Vorteil, den Liebling „U“ für offene Teilmengen von P beim Arbeiten mit f frei zu haben.

(6)	Eine (parametrisierte) Kurve in ℂ ist eine stetige Abbildung der Form α : [ a, b ] → ℂ mit [ a, b ] ⊆ ℝ. Ist α stückweise stetig differenzierar, so heißt α ein Weg in ℂ.

Genaueres und Weiteres findet sich in den folgenden Ausführungen.