Komplexe Zahlenmengen

 Für die komplexen Zahlen verwenden wir (mit einem beliebigen reellen Intervall I):

ℂ  =  ℝ²(komplexe Zahlen, Zahlenebene)

ℂ*  =  ℂ − { 0 }(punktierte Ebene)

ℂ⁻  =  ℂ − ] −∞, 0 ] (geschlitzte Ebene)

ℂ^− −  =  ℂ − { x  ∈  ℝ | |x| ≥ 1 } (doppelt geschlitzte Ebene)

ℍ  =  { z  ∈  ℂ | Im(z) > 0 } (offene obere Halbebene)

𝔼  =  { z  ∈  ℂ | |z| < 1 } (offene Einheitskreisscheibe)

K_r  =  { z  ∈  ℂ | |z| < r } (zentrischer Kreis mit Radius r)

S(I)  =  { z  ∈  ℂ | Re(z)  ∈  I }(senkrechter I-Streifen)

W(I)  =  { z  ∈  ℂ | Im(z)  ∈  I }(waagrechter I-Streifen)

H  =  S(] 0, ∞ [)  =  { (x, y)  ∈  ℝ² | x > 0 }(offene rechte Halbebene)

H⁺  =  H ∪ { (0, y) | y ≥ 0 }(erweiterte rechte Halbebene)

Sec(I)  =  { (r, φ)_polar  ∈  ℂ | r > 0, φ  ∈  I }(I-Sektor)

Sec₀(I)  =  Sec(I) ∪ { 0 },

Sec_n  =  Sec( ] − π/n, π/n [ )

Sec⁺_n  =  Sec₀( ]−π/n, π/n ] ).(Hauptsektoren)

Damit ist ℍ von H zu unterscheiden. Die rechte Halbebene H taucht häufig auf, die Bezeichnung ℍ für die obere Halbebene ist traditionell. Halbebenen sind auch Sektoren mit Länge π des Intervalls I. So gilt etwa

H  =  Sec₂  =  Sec(] −π/2, π/2 [),

H⁺  =  Sec⁺₂  =  Sec(] −π/2, π/2 ]).

Funktionen

 Funktionen geben wir meistens in der Form f : A → B an, mit einem Definitionsbereich A und einem Wertevorrat B. Gleichwertig verwenden wir auch „Abbildung“ statt „Funktion“. Wir setzen zudem

dom(f)  =  A(domain von f)

rng(f)  =  f [ A ]  =  { f (a) | a  ∈  A }.(range, Wertebereich, Bild von f)

Wir identifizieren f mit ihrem Graphen, sodass der Wertevorrat B nicht fest zu f gehört. Damit ist b = f (a) gleichbedeutend mit (a, b)  ∈  f und es gilt

f  =  { (a, f (a)) | a  ∈  A },

dom(f)  =  { a | es gibt ein b mit (a, b)  ∈  f }.

rng(f)  =  { b | es gibt ein a mit (a, b)  ∈  f }.

Das ist in der Analysis kaum bedeutsam, aber mengentheoretisch-ordentlich. Ein fixierter Wertevorrat B ist für die Eigenschaften „surjektiv, bijektiv“ nötig, nicht aber für „injektiv“. (Wer einen Wertevorrat fest dabei haben möchte, definiert eine Funktion als Paar (graph(f), B) oder etwas großzügiger als Tripel (graph(f), A, B), wobei sich ja A aus dem Graphen von f rekonstruieren lässt. Eine dritte Möglichkeit ist, eine Funktion wie oben und eine Abbildung als Paar oder Tripel zu definieren, sodass dann Funktion und Abbildung doch unterschiedlich sind. Alles möglich und für unsere Zwecke nicht wesentlich.)

 Eine reelle Funktion hat die Form f : P → ℝ mit P ⊆ ℝ (mit wie oben diskutiert „P“ für „Punktmenge“). Analog hat eine komplexe Funktion die Form f : P → ℂ mit P ⊆ ℂ.

 Die leere Menge gilt als Funktion (∅ : ∅ → ∅). Das ist witzig, aber keineswegs lächerlich, wenn man an Anzahlformeln wie ^AB = |B|^|A| für die Menge ^AB aller Funktionen von A nach B denkt. Wir wollen ja, dass 0⁰ = 1. Definitionsbereiche in analytischen Kontexten sind aber immer nichtleer.