Die Topologie der komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen ℂ bilden mit der von der euklidischen Norm

∥ z ∥ = |z| = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ für alle z = (x, y)  ∈  ℂ

induzierten Metrik

d(z, w) = |z − w| für alle z, w  ∈  ℂ

einen metrischen und damit topologischen Raum. Die Wahl der Norm ist für die topologische Struktur von ℂ nicht wesentlich. Je zwei Normen auf dem ℝ-Vektorraum ℝ² sind (topologisch und numerisch) äquivalent (vgl. Analysis 2).

Für alle ε > 0 und p  ∈  ℂ ist

U_ε(p) = { z  ∈  ℂ | |z − p| < ε }

eine offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt p und Radius ε. In U_ε(w) ist ε immer größer als Null, sodass wir das nicht immer dazu schreiben müssen. Die offenen Kreisscheiben bilden eine Basis der Topologie auf ℂ:

Offene Mengen

Ein U ⊆ ℂ heißt offen, falls U eine Vereinigung von Kreisscheiben U_ε(w) ist (die leere Vereinigung ist zugelassen und liefert die offene leere Menge). Die Menge U lässt sich also durch offene Kreisscheiben (offene Basismengen) ausschöpfen. Äquivalent ist, dass für alle w  ∈  U ein ε > 0 existiert mit U_ε(w) ⊆ U: Jeder Punkt von U lässt sich zu einer Kreisscheibe vergrößern, die ganz in U liegt. Die leere Menge und ℂ sind offen. Die offenen Mengen sind abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen. Bei den offenen Kreisscheiben können wir uns auf rationale Radien und Mittelpunkte in ℚ² beschränken. Wir erhalten so eine abzählbare Basis der Topologie auf ℂ.

Aus dem Begriff der offenen Menge ergeben sich alle weiteren topologischen Begriffe. Wir wiederholen einige davon.

Umgebungen

Ein V ⊆ ℂ heißt eine Umgebung eine Punktes p  ∈  ℂ, falls es ein ε > 0 gibt mit U_ε(p) ⊆ V. Der Umgebungsbegriff ist eine Relation zwischen Teilmengen und Punkten von ℂ. Die Menge V muss selbst nicht offen sein. Ist sie es, so nennen wir V eine offene Umgebung von p. Aus dem Umgebungsbegriff lässt sich die Offenheit rekonstruieren: Ein U ⊆ ℂ ist genau dann offen, wenn U eine Umgebung jedes ihrer Punkte ist. Damit kann man die Topologie auch auf dem Umgebungsbegriff aufbauen, wenn man möchte.

Der Begriff erweitert sich von Punkten auf Mengen: Ein V heißt eine Umgebung einer Menge P, falls V eine Umgebung aller p  ∈  P ist.

Abgeschlossene Mengen

Die Komplemente offener Mengen heißen abgeschlossen. Die leere Menge und ℂ sind abgeschlossen, eine endliche Vereinigung und ein beliebiger Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. Eine Menge A ⊆ ℂ ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Ausformuliert bedeutet dies: Wenn für jedes w  ∈  ℂ, das nicht zu A gehört, eine Kreisscheibe U_ε(w) außerhalb von A liegt. Weiter ist A ⊆ ℂ genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge in A ein Element von A ist. Konvergente Folgen in einer abgeschlossenen Menge A führen also nicht aus A heraus.

Häufungspunkte

Ein w  ∈  ℂ heißt Häufungspunkt einer Menge P ⊆ ℂ, falls für alle ε die Menge P ∩ U_ε(w) einen von w verschiedenen Punkt enthält (und damit unendlich ist, da ε beliebig verkleinert werden kann). Ein w  ∈  ℂ ist genau dann ein Häufungspunkt von P, wenn es eine Folge in P − { w } gibt, die gegen w konvergiert. Die Cantorsche Punktmengenableitung ist für alle P ⊆ ℂ definiert durch

P′ = { w  ∈  ℂ | w ist Häufungspunkt von P }.

Ein A ⊆ ℂ ist genau dann abgeschlossen, wenn A′ ⊆ A.

P heißt dicht in ℂ, falls P′ = ℂ. Die Menge ℚ² ist eine abzählbare dichte Teilmenge von ℂ.

Ist p  ∈  P − P′, so heißt p ein isolierter Punkt von P. Eine Menge P heißt diskret, falls P′ = 0. Dies gilt genau dann, wenn P nur aus isolierten Punkten besteht. Eine diskrete Menge P ist abgeschlossen und abzählbar. Denn ist D abzählbar und dicht in ℂ, so existiert für alle p  ∈  P ein w  ∈  D und ein n ≥ 1 mit P ∩ U_1/n(w) = { p }. Da { U_1/n(w) | w  ∈  D, n ≥ 1 } abzählbar ist, ist auch P abzählbar.

Der Satz von Bolzano-Weierstraß

Der Satz besagt für ℂ: Jede unendliche beschränkte Menge P ⊆ ℂ besitzt einen Häufungspunkt. Wir schließen P in ein abgeschlossenes Quadrat ein, das wir iteriert in vier abgeschlossene Teilquadrate zerlegen und dabei immer ein Teilquadrat wählen, das immer noch unendliche viele Punkte von P enthält. Der eindeutige Punkt im Durchschnitt der Teilquadrate ist ein Häufungspunkt von P. In Folgenformulierung lautet der Satz: Jede beschränkte Folge (z_n)_{n  ∈  ℕ} in ℂ besitzt eine konvergente Teilfolge.

Inneres, Äußeres, Abschluss und Rand

Für alle P ⊆ ℂ setzen wir:

int(P) = { z  ∈  P | P ist Umgebung von z }(Inneres)

ext(P) = { z  ∈  ℂ − P | ℂ − P ist umgebung von z(Äußeres)

cl(P) = P ∪ P′(Abschluss)

bd(P) = ∂P = cl(P) − int(P) = cl(ℂ − P) − ext(P)(Rand)

Das Innere von P ist die größte offene Teilmenge von P. Analog ist der Abschluss von P die kleinste abgeschlossene Obermenge von P. Ein z  ∈  ℂ liegt genau dann im Rand bd(P) von P, wenn jedes U_ε(z) sowohl ein Element von P als auch ein Element von ℂ − P enthält.

Kompaktheit

Eine Menge 𝒰 von offenen Mengen heißt eine offene Überdeckung von P, falls P ⊆ ⋃ 𝒰. Sie heißt endlich reduzierbar (bzgl. P), falls es U₁, …, U_n  ∈  𝒰 gibt mit P ⊆ U₁ ∪ … ∪ U_n. Ein C ⊆ ℂ heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von P endlich reduzierbar ist. Überlagern wir C beliebig mit offenen Mengen, so reichen bereits endlich viele Mengen aus. Fast alle (alle bis auf endlich viele) Mengen der Überdeckung sind überflüssig. Diese tiefsinnige Begriffsbildung der „Quasi-Endlichkeit“ wird durch den Satz von Heine-Borel flankiert, der die kompakten Mengen in ℂ charakterisiert: Ein C ⊆ ℂ ist genau dann kompakt, wenn C abgeschlossen und beschränkt in ℂ ist. Weiter gilt das Cantorsche Schachtelungsprinzip: Gilt C_n + 1 ⊆ C_n für nichtleere kompakte Mengen C_n ⊆ ℂ, so gilt ⋂_n C_n ≠ ∅.

Eine Teilmenge P von ℂ heißt σ-kompakt, falls P eine abzählbare Vereinigung kompakter Mengen ist. Jede offene Menge U ⊆ ℂ ist σ-kompakt (aufgrund der σ-Kompaktheit aller U_ε(p) und der abzählbaren Basismengen U_1/n(q), n ≥ 1, q  ∈  ℚ²). Die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht σ-kompakt.

Die doppelte Teilmengen-Noation

In der Funktionentheorie brauchen wir häufig, dass eine Menge einschließlich ihres Abschlusses im Inneren einer anderen Mengen liegt. Wir definieren hierzu für alle A, P ⊆ ℂ:

A ⊂⊂ P falls cl(A) ist kompakt und cl(A) ⊆ int(P).

In vielen Fällen ist P offen. Dann ist A ⊂⊂ P gleichwertig zu: A ist beschränkt und cl(A) ⊆ P.

Lebesgue-Zahlen und gleichmäßige Stetigkeit

Sei P ⊆ ℂ, und sei 𝒰 eine offene Überdeckung von P, d. h. jedes U  ∈  𝒰 ist offen und es gilt P ⊆ ⋃ 𝒰. Dann heißt ein λ > 0 eine Lebesgue-Zahl für 𝒰 (bzgl. P), falls für alle A ⊆ P mit diam(A) < λ ein U  ∈  𝒰 existiert mit A ⊆ U. Für kompakte Mengen existiert eine derartige Zahl: Ist C ⊆ ℂ kompakt und 𝒰 eine offene Überdeckung von C, so existiert eine Lebesgue-Zahl λ für 𝒰. Einige Folgerungen sind:

(1)

Ist C kompakt und f : C → ℂ stetig, so ist f gleichmäßig stetig, d. h.

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀P ⊆ C (diam(P) < δ → diam(f [ P ]) < ε.(Satz von Heine)

(Dabei ist der Durchmesser diam(P)  ∈  [ 0, ∞ ] einer Menge P ⊆ ℂ definiert durch diam(P) = sup_{z, w  ∈  P} |z − w| ≤ ∞.)

Konkret ist für ein gegebenes ε > 0 eine Lebesgue-Zahl δ der Überdeckung 𝒰 = { f ⁻¹[ V ] | V offen, diam(V) < ε } geeignet.

(2)	Ist U offen und C ⊆ U kompakt, so gibt es ein ε > 0 mit U_ε(p) ⊆ U für alle p  ∈  C. Denn ist 𝒰 eine offene Überdeckung von C mit ⋃ 𝒰 ⊆ U, so ist eine Lebesgue-Zahl ε wie gewünscht. (Alternativ mit Abständen: Es gilt ε = dist(C, U) = inf_{p  ∈  C} dist(p, U) = min_{p  ∈  C} dist(p, U) > 0.)

Relativbegriffe

Jede Teilmenge X von ℂ erbt die Topologie von ℂ durch Schnittbildung: Ein U ⊆ X heißt offen in X, falls es ein offenes V ⊆ ℂ gibt mit U = V ∩ X. Hieraus ergeben sich erneut alle weiteren topologischen Begriffe „in X“. Die wichtigsten Relativbegriffe und Charakterisierungen sind:

(1)	Ist X offen in ℂ, so ist U ⊆ X genau dann offen in X, wenn U offen in ℂ ist.

(2)	Ein V ⊆ P ist genau dann eine Umgebung von p  ∈  P in P, wenn es eine Umgebung U von p in ℂ gibt mit V = U ∩ P. Analoges gilt für Umgebungen von Mengen.

(3)	Ein A ⊆ X ist abgeschlossen in X genau dann, wenn es ein abgeschlossenes B ⊆ ℂ gibt mit A = B ∩ X. Dies gilt genau dann, wenn A′ ∩ X ⊆ A.

(4)	Ein C ⊆ X ist (erfreulicherweise) genau dann kompakt in X, wenn C kompakt in ℂ ist.

(5)	Ein P ⊆ X ist genau dann diskret in X, wenn P′ ∩ X = ∅. Es gilt dann: P ist abgeschlossen in X, für alle kompakten C ⊆ X ist P ∩ C endlich, P ist abzählbar (wieder aufgrund der Existenz einer abzählbaren Basis). Beispielsweise ist { 1 − 1/n \| n ≥ 1 } diskret in U₁(0).

Zusammenhang

Ein X ⊆ ℂ heißt (topologisch) zusammenhängend, wenn ∅ und X die einzigen Teilmengen von X sind, die zugleich offen und abgeschlossen in X sind. Im Englischen heißen offene und zugleich abgeschlossene Mengen auch clopen für „closed and open“. Zusammenhängend bedeutet also, dass nur ∅ und X clopen in X sind (diese Mengen sind immer clopen in X). Für x, y  ∈  X setzen wir x ∼ y, falls es ein zusammenhängendes Y ⊆ X gibt mit x, y  ∈  Y. Die Äquivalenzklassen dieser Relation heißen die (Zusammenhangs-) Komponenten von X. Jede Komponente von X ist abgeschlossen in X. Gibt es nur endlich viele Komponenten, so ist jede Komponente auch offen in X. Den verwandten Begriff des Wegzusammenhangs diskutieren wir separtat.

Punktierungen und Löcher

Sei U ⊆ ℂ offen. Dann heißt ein C ⊆ ℂ − U ein Loch von U, falls C eine kompakte Zusammenhangskomponente von ℂ − U ist. U heißt punktiert in p, falls { p } ein Loch von P ist. Für alle p  ∈  ℂ und ε > 0 sei

U_ε(p)* = U_ε(p) − { p }

die Punktierung von U_ε(p) bei p. Ein instruktives Beispiel ist U = ℂ − A mit A = { 0 } ∪ { 1/2ⁿ | n  ∈  ℕ }: Die Menge U ist punktiert in allen z  ∈  A, für jedes n ist U ∪ { 1/2ⁿ } offen, U ∪ { 0 } ist nicht offen. Ist die Menge der Punktierungen N einer Menge U diskret (in ℂ), so ist U ∪ { p } offen für alle p  ∈  N. Analog gilt: Hat U nur endlich viele (oder „diskret liegende“) Löcher, so ist U ∪ C offen für jedes Loch C von U.