Betrags- und Winkel-Landschaften
Eine Funktion f : P → ℝ mit P ⊆ ℝ2 können wir wie in der mehrdimensionalen Analysis üblich durch eine Höhenlandschaft visualisieren, indem wir einen dreidimensionalen Plot erstellen, der die „Höhen“ f(x, y) wiedergibt. Bei einer komplexen Funktion f : P → ℂ können wir in dieser Weise die reellen Funktionen
Re(f) : P → ℝ, Im(f) : P → ℝ(kartesische Zerlegung)
|f| : P → [ 0, ∞ [ , arg(f) : P → ] −π, π ] (polare Zerlegung)
darstellen (mit arg(0) = 0). Wir verteilen also die Gesamtinformation auf zwei Diagramme, entweder kartesisch oder polar. Dabei ist vor allem |f| informativ, da die Null- und Polstellen hier sofort erkennbar sind. Zudem können wir in einem Plot von |f| die Wert-Punkte nach ihren Argumenten einfärben. Dabei verwenden wir schwarz für Nullstellen und die Farben auf dem Einheitskreis für die anderen Werte, da der Betrag bereits wiedergegeben ist (d. h. wir brauchen keine Intensität). Weiter können wir ein polares Gitter mit Höhenlinien (entsprechend konstanten Radien) und Winkellinien (entsprechend konstanten Argumenten) einzeichnen. Aufgrund der Winkeltreue stehen die Winkellinien komplex differenzierbarer Funktion senkrecht auf den Höhenlinien. Sie sind damit die den Gradienten folgenden Steigungs- oder Fall-Linien (je nach „rauf oder runter“-Betrachtung) der Funktion.
Vergleich der Methoden
Wir verwenden in diesem Buch vorwiegend die Farbkreismethode, die den großen Vorteil der Zweidimensionalität besitzt. Diese Diagramme sind auch langfristig sehr wertvoll. Am Anfang erscheinen sie spektakulär, dann vielleicht als Variation des Gleichen. Mit zunehmender Erfahrung und Gewöhnung an die Farben können wir aber eine sehr genaue Informationen über f und Umkehrfunktionen von Einschränkungen von f aus den Diagrammen herauslesen. Und das Phänomen der Schnittlinien (branch cuts) der Funktionentheorie, das wir zum ersten Mal bei den komplexen Wurzelfunktionen kennenlernen werden, wird durch das Domain-Coloring vielleicht am anschaulichsten wiedergegeben.
3d-Plot der Funktion f (z) = z2 (Betragswerte, Winkelfarbe). Die Linien mit konstanter Farbe stehen senkrecht auf den Höhenlinien.
Darstellungsvariante mit Intervall-Farben für die Winkel