2.9 Die Intervallschachtelung

Satz (Prinzip der Intervallschachtelung)

Seien I_n = [ a_n, b_n ] abgeschlossene Intervalle mit a_n ≤ b_n für alle n  ∈  ℕ.

Weiter gelte I₀ ⊇ I₁ ⊇ … ⊇ I_n ⊇ …, d. h., es gelte

a₀ ≤ a₁ ≤ … ≤ a_n ≤ … ≤ b_n ≤ … ≤ b₁ ≤ b₀.

Sei dann

I = ⋂_{n  ∈  ℕ} I_n = ⋂ { I_n | n  ∈  ℕ }.

Dann ist I ein Intervall der Form [ a, b ] mit a ≤ b. Insbesondere ist I nichtleer.

a = sup_n a_n

b = inf_n b_n

Das Prinzip ist sehr anschaulich und bereitet für sich genommen auch keine größeren Schwierigkeiten. Unsicherheiten bestehen aber zuweilen bei der Verwendung der Durchschnitte. Ist 𝒜 eine Menge von Mengen, so ist der „große Durchschnitt“ ⋂ 𝒜 erklärt als

⋂ 𝒜 = ⋂_{A  ∈  𝒜} A = { x | für alle A  ∈  𝒜 gilt x  ∈  A }.

Wir sammeln also alle x auf, die in jedem Element A von 𝒜 als Element enthalten sind. In der Situation des Satzes ist damit

I = ⋂_{n  ∈  ℕ} I_n = ⋂ { I_n | n  ∈  ℕ } = { x | für alle n gilt x  ∈  I_n }

die Menge aller Punkte, die jedem Intervall I_n angehören. Es gilt

I ⊆ … ⊆ I_n ⊆ … ⊆ I₂ ⊆ I₁ ⊆ I₀,

das Intervall I ist also ein Teilintervall aller Intervalle I_n.

Der Satz besagt, dass das „Zusammenschrumpfen“ eines Intervalls [ a, b ] nicht im Nichts endet, wenn jedes Schrumpfen ein abgeschlossenes Intervall hinterlässt. Wir betrachten hierzu einige Beispiele und Gegenbeispiele.

Beispiele

(1)	⋂_{n  ∈  ℕ} [ 0, 1 + 1/10ⁿ ] = [ 0, 1 ].

(2)	⋂_{n  ∈  ℕ} [ x − 1/2ⁿ, x + 1/2ⁿ ] = { x } für alle x  ∈  ℝ.

(3)	⋂_{n  ∈  ℕ} ] 0, 1/2ⁿ [ = ∅.

(4)	⋂_{n  ∈  ℕ} [ n, +∞ [ = ∅.

(5)	⋂_n ≥ 1 ] −1/n, 1/n [ = { 0 }.

Die beiden ersten Beispiele zeigen, dass der Durchschnitt der betrachteten Intervalle von der Form [ a, b ] mit a < b sein kann, aber auch von der Form [ a, b ] = { a } = { b } mit a = b. Im zweiten Fall gibt es genau einen Punkt, der in allen Intervallen als Element enthalten ist. Diese Eindeutigkeit taucht in der Praxis häufig auf, etwa dann, wenn die Länge des Intervalls I_n + 1 immer kleinergleich der Hälfte der Länge des Intervalls I_n ist. Allgemein besteht I genau dann aus einem einzigen Punkt, falls für alle ε > 0 ein n existiert, sodass die Länge von I_n (und folglich auch die Länge von I_m für alle m > n) kleiner ist als ε.

Die Beispiele (3) und (4) zeigen, dass die Aussage des Satzes im Allgemeinen nicht mehr richtig ist, wenn wir offene oder unbeschränkte abgeschlossene Intervalle verwenden. Die Intervalle

] 0, 1 [, ] 0, 1/2 [, ] 0, 1/4 [, …

ziehen sich auf die leere Mengen zusammen, und auch die Intervalle

[ 0, +∞ [, [ 1, +∞ [, [ 2, +∞ [, …

verlieren, obwohl sie alle unendlich lang sind, im Laufe der Verkleinerung ebenfalls jeden ihrer Punkte. Natürlich können, wie in Beispiel (5), auch offene geschachtelte Intervalle einen nichtleeren Schnitt besitzen. Aber für die allgemeine Gültigkeit der Aussage ist es wichtig, dass die Intervalle abgeschlossen und beschränkt sind. Intervalle dieses Typs sind auch als kompakte Intervalle bekannt. Sie tauchen in verschiedenen prominenten Sätzen der Analysis auf, etwa im Satz, dass jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ihr Maximum annimmt. Später werden die kompakten Intervalle in der Analysis zu kompakten Mengen verallgemeinert und mit dem Auge der Topologie weiter untersucht.

Mit Hilfe von Suprema und Infima wird der Beweis des Prinzips der Intervallschachtelung sehr einfach. Es gilt

I = [ sup({ a_n | n  ∈  ℕ }), inf ({ b_n | n  ∈  ℕ }) ],

das Durchschnittsintervall ist also definiert durch das Supremum der linken Intervallgrenzen und das Infimum der rechten Intervallgrenzen. Umgekehrt kann man die Intervallschachtelung (zusammen mit der archimedischen Anordnung) als Axiom ansehen und dann das Vollständigkeitsaxiom beweisen. Das Prinzip ist damit für ℚ und 𝔸 falsch, was zum Beispiel durch Intervalle in ℚ bzw. 𝔸, die sich in ℝ auf die Menge { π } zusammenziehen, direkt belegt werden kann. So ist ⋂_n I_n = ∅, falls

I_n = { x  ∈  𝔸 | π − 1/2ⁿ ≤ x ≤ π + 1/2ⁿ } für alle n.

Die Mengen I_n sind keine Intervalle in ℝ, aber sie sind Intervalle in 𝔸.

Die Intervallschachtelung lässt sich in der Analysis zum Beispiel verwenden, um den Satz von Bolzano-Weierstraß und den Zwischenwertsatz zu beweisen. Die Intervalle I_n werden dann oft rekursiv definiert. Man konstruiert I₁ mit Hilfe eines gegebenen Intervalls I₀, I₂ mit Hilfe von I₁, allgemein I_n + 1 mit Hilfe von I_n. Besonders beliebt ist dabei die fortgesetzte Halbierung. Hier zerlegt man I_n in zwei gleich lange Teilintervalle und wählt als I_n + 1 diejenige Hälfte, die eine gewisse gute Eigenschaft hat. Dann ist das eindeutige x im Durchschnitt aller Intervalle I_n oft ebenfalls ein guter Punkt, etwa ein Häufungspunkt einer Menge oder eine Nullstelle einer Funktion.