3.3 Monotone Folgen und Pendelfolgen
Satz (Konvergenz und Grenzwerte monotoner Folgen)
(a) | Sei (xn)n ∈ ℕ monoton steigend und beschränkt in ℝ. Dann gilt limn xn = sup({ xn | n ∈ ℕ }). |
(b) | Analog gilt für eine monoton fallende und beschränkte Folge (xn)n ∈ ℕ, dass limn xn = inf ({ xn | n ∈ ℕ }). |
s = supn xn = limn xn
für eine monoton steigende und beschränkte Folge
in funktionaler und linearer Darstellung
Der Grenzwert einer monotonen beschränkten Folge ist also das Supremum oder Infimum der Folgenglieder.
Wir schreiben oft kurz supn xn anstelle von sup({ xn | n ∈ ℕ }). Gleiches gilt für das Infimum.
Beispiele
(1) | Die Folge (1/n)n ≥ 1 ist monoton fallend und die Folge (1 − 1/n)n ≥ 1 ist monoton steigend. Folglich gilt limn ≥ 1 1/n = infn 1/n = 0, limn (1 − 1/n) = supn (1 − 1/n) = 1. |
(2) | Ist x = k, d1 d2 d3 … in Dezimaldarstellung mit k ∈ ℕ, so ist die Folge (k, d1 … dn)n ≥ 1 = (k; k,d1; k,d1 d2; …) der n-ten Approximationen monoton steigend. Also gilt x = supn ≥ 1 k, d1 … dn … = limn ≥ 1 k, d1 … dn. e ∼ 2.71828182845905 |
(3) | Die Folge ((1 + 1/n)n)n ≥ 1 ist monoton steigend und beschränkt und damit konvergent. Man kann sie zur Definition der Eulerschen Zahl e verwenden: e = limn ≥ 1 (1 + 1/n)n. |
Ein häufig anzutreffender konvergenter nichtmonotoner Typ sind die „gedämpften Pendelfolgen“, deren Glieder sich hin und her bewegen und dabei immer mehr an Schwung verlieren:
Satz (Grenzwerte von Pendelfolgen)
(a) | Sei (xn)n ∈ ℕ eine rechtsstartende Pendelfolge in ℝ, d. h., es gelte x1 ≤ x3 ≤ … ≤ x2n + 1 ≤ … ≤ x2n ≤ … ≤ x2 ≤ x0. Weiter gelte ∀ε > 0 ∃n x2n − x2n + 1 < ε. (Konvergenzbedingung für Pendelfolgen) Dann gilt limn xn = supn x2 n + 1 = infn x2 n. |
(b) | Analoges gilt für linksstartende Pendelfolgen x0 ≤ x2 ≤ … ≤ x2n ≤ … ≤ x2n + 1 ≤ … ≤ x3 ≤ x1, |
s = supn x2 n + 1 = infn x2 n = limn xn
in linearer Darstellung (Für eine funktionale Darstellung siehe das Diagramm zu Kettenbrüchen unten.)
Hier genügt es, zu jedem ε > 0 ein einziges gutes n zu finden !
Beispiele
(1) | Die Folge (1, −1, 1/2, −1/2, 1/3, −1/3, …) hat das Pendelverhalten x1 ≤ x3 ≤ … ≤ x2n + 1 ≤ … ≤ x2n ≤ … ≤ x2 ≤ x0. Weiter gilt die Konvergenzbedingung, da x2 n − x2 n + 1 = 1/(n + 1) − (−1/(n + 1)) = 2/(n + 1) beliebig klein wird. Folglich ist limn xn = supn ≥ 1 −1/n = infn ≥ 1 1/n = 0. |
(2) | Die sog. Leibniz-Reihe (1, 1 − 1/3, 1 − 1/3 + 1/5, 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7, …) ist eine rechtsstartende Pendelfolge und erfüllt die Konvergenzbedingung, da x2 n − x2 n + 1 = 1/(4 n + 1) − 1/(4 n + 3) < 2/(4 n + 1) beliebig klein wird. Also existiert x = limn xn. Es gilt x = π/4 (siehe auch 4. 7). Φ ∼ 1,618034 |
(3) | Für positive natürliche Zahlen ak sind die endlichen Kettenbrüche [ a0, …, an ] rekursiv definiert durch [ a0 ] = a0, [ a0, …, an + 1 ] = a0 + 1[ a1, …, an + 1 ]. Für alle (an)n ∈ ℕ ist ([ a0, …, an ])n ∈ ℕ eine linksstartende Pendelfolge, die gegen eine irrationale Zahl konvergiert. Man setzt (unendlicher Kettenbruch): [ a0, a1, … ] = limn [ a0, …, an ]. Der prominenteste unendliche Kettenbruch ist der Goldene Schnitt Φ = [ 1, 1, 1, … ] = (1 + )/2. |