3.5 Cauchy-Folgen

Definition (Cauchy-Folge)

Eine Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} in ℝ heißt eine Cauchy-Folge, falls gilt:

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n, m ≥ n₀ |x_n − x_m| < ε.

(Cauchy-Bedingung)

Zur Cauchy-Bedingung: Für gegebenes ε > 0 haben ab einem Index n₀ alle Glieder x_n, x_m einen Abstand kleiner als ε voneinander. Betrachten wir ein solches Paar x_n, x_m wie im Diagramm, so liegen alle x_k mit k ≥ n₀ im dunkelgrauen Bereich, da sie sowohl von x_n als auch von x_m weniger als ε entfernt sind.

Die Cauchy-Bedingung stellt eine Bedingung an die Folgenglieder, ein Grenzwert der Folge ist nicht involviert.

Es gilt der fundamentale Satz:

Satz (Konvergenz von Cauchy-Folgen in ℝ)

Jede Cauchy-Folge in ℝ konvergiert.

Umgekehrt ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge. Denn ist x = lim_n x_n, so gibt es für alle ε > 0 ein n₀ mit |x − x_n| < ε/2 für alle n ≥ n₀. Dann gilt aber für alle m, n ≥ n₀:

|x_n − x_m| = |x_n − x + x − x_m| ≤ |x_n − x| + |x − x_m| < ε/2 + ε/2 = ε.

Dieses Vorgehen ist als „ε/2-Argument“ bekannt (vgl. auch das letzte Beispiel in 2. 5).

Zusammenfassend gilt also:

Eine Folge in ℝ konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Beispiel

Wir betrachten die Folge

1, 1 + ¹₄, 1 + ¹₄ + ¹₉, 1 + ¹₄ + ¹₉ + ¹₁₆, …,

d. h., es gilt x_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n} 1/k² für alle n ≥ 1. Für alle 1 ≤ n₀ ≤ n ≤ m gilt dann:

|x_m − x_n| = ∑_{n < k ≤ m} 1/k² < ∑_{n < k ≤ m} (1/(k − 1) − 1/k) =

1/n − 1/(n + 1) + 1/(n + 1) − 1/(n + 2) + … − 1/(m − 1) + 1/(m − 1) − 1/m =

1/n − 1/m ≤ 1/n + 1/m ≤ 2/n₀,

wobei wir 1/k² < 1/(k (k − 1)) = 1/(k − 1) − 1/k verwenden und eine sog. Teleskopsumme aufgelöst haben. Da für alle ε > 0 ein n₀ existiert mit 2/n₀ < ε, ist die Folge eine Cauchy-Folge, und damit existiert x = lim_n x_n. Mit weitergehenden Methoden (z. B. mit Fourier-Reihen) kann man den Grenzwert x als π²/6 berechnen.

Man kann natürlich auch so argumentieren: Die Folge des Beispiels ist monoton steigend und die Telekopsumme zeigt, dass sie beschränkt und folglich konvergent ist. Zum Nachweis der Konvergenz der Folge (y_n)_n ≥ 1 mit y_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n} sin(k)/k² für alle n ≥ 1 ist die Cauchy-Bedingung essentiell.

Die Konvergenz von Cauchy-Folgen wird oft als „metrisches Vollständigkeitsaxiom“ für die reellen Zahlen bezeichnet. Unser lineares Vollständigkeitsaxiom ist äquivalent zur metrischen Vollständigkeit zusammen mit der archimedischen Anordnung (vgl. auch 2. 7). Später betrachtet man in der Analysis sehr allgemeine metrische Räume und dann wird die metrische Version zur Formulierung der Vollständigkeit herangezogen. Supremum und Infimum stehen nicht mehr zur Verfügung.

Die Cauchy-Bedingung besagt, dass für jedes ε > 0 ab einer bestimmten Stelle der Abstand je zweier Folgenglieder kleiner als ε ist. Anschaulich bedeutet dies, dass sich die Glieder beliebig verdichten. Dabei ist aber Vorsicht geboten:

Es genügt nicht, dass der Abstand zwischen benachbarten

Gliedern x_n und x_n + 1 beliebig klein wird.

Beispiel

Für alle n ≥ 1 gilt $\sqrt{1 + 1 / n}$ < 1 + 1/n und damit

$\sqrt{n + 1}$ − $\sqrt{n}$ = $\sqrt{n}$ ( $\sqrt{1 + 1 / n}$ − 1) < $\sqrt{n}$ (1 + 1/n − 1) = 1/ $\sqrt{n}$ .

Also gilt lim_n ( $\sqrt{n + 1}$ − $\sqrt{n}$ ) = 0. Setzen wir also x_n = $\sqrt{n}$ für alle n, so ist (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine divergente Folge mit

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ |x_n + 1 − x_n| < ε.

Die Situation des Beispiels ist gar nicht so selten. Sie liegt zum Beispiel auch für die Folgen (log(n))_n ≥ 1 und für (h_n)_n ≥ 1 mit

h_n = 1 + 1/2 + … + 1/n für alle n  ∈  ℕ

vor. Die Folge (h_n)_n ≥ 1 ist die harmonische Reihe, die wir in 4. 5 genauer besprechen werden.

Variante der Cauchy-Bedingung

Folgende gleichwertige Variante der Cauchy-Bedingung kommt mit nur einer Variablen oberhalb von n₀ aus:

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ |x_n − x_n₀| < ε. (Cauchy-Bedingung, II)

Dies folgt aus der ersten Version, wenn wir dort m = n₀ setzen. Umgekehrt ist es die Dreiecksungleichung, die uns von der scheinbar schwächeren zweiten Version zur ersten führt. Gilt nämlich die Version II und ist ε > 0 beliebig, so gibt es ein n₀ mit

∀n ≥ n₀ |x_n − x_n₀| < ε/2.

Für alle n, m ≥ n₀ gilt dann

|x_n − x_m| ≤ |x_n − x_n₀| + |x_n₀ − x_m| ≤ ε/2 + ε/2 = ε.