3.7 Häufungspunkte von Folgen
Definition (Häufungspunkt einer Folge)
Sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ℝ. Dann heißt ein x ein Häufungspunkt von (xn)n ∈ ℕ, falls es eine Teilfolge (yn)n ∈ ℕ von (xn)n ∈ ℕ gibt mit
x = limn yn.
xn = r + 1 + 1k + 1 für n = 3 k + r, r ∈ { 0, 1, 2 }
Die Folge hat die Häufungspunkte 1, 4, und 7:
1 = limn x3n, 4 = limn x3n + 1, 7 = limn x3n + 2.
Die Häufungspunkte einer Folge sind also diejenigen Punkte, die wir durch eine Aussiebung der Folge „ansteuern“ können.
Wir bestimmen zunächst die Häufungspunkte der in den sechs Beispielen der vorhergehenden Sektion betrachteten Folgen.
Beispiele
(1) | Die Folge (c, c, c, …) besitzt genau den Häufungspunkt c. |
(2) | Die Folge (0, 1, 2, 3, …) besitzt keine Häufungspunkte. |
(3) | Die Folge (0, 1, 0, 1, 0, 1, …) besitzt genau die Häufungspunkte 0 und 1. |
(4) | Die Folge (1/n)n ≥ 1 besitzt genau den Häufungspunkt 0. |
(5) | Ist (xn)n ∈ ℕ monoton steigend, so besitzt die Folge, falls sie beschränkt ist, genau den Häufungspunkt x = limn xn = supn xn. Ist die Folge unbeschränkt, so besitzt sie keinen Häufungspunkt. |
(6) | Ist (xn)n ∈ ℕ eine Pendelfolge mit x0 ≤ x2 ≤ … ≤ x2n ≤ … ≤ x2n + 1 ≤ … ≤ x3 ≤ x1, so sind genau a = limn x2 n = supn x2 n und b = limn x2 n + 1 = infn x2 n + 1 die Häufungspunkte der Folge. Weiter gilt a = b genau dann, wenn die Folge konvergiert, und in diesem Fall gilt limn xn = a = b. |
Die Folge 0, 1, 0, 1, 0, 1, … in linearer Darstellung. Häufungspunkte sind 0 und 1.
Die Beispiele zeigen, dass ein x ein Häufungspunkt einer Folge sein kann, obwohl sich die Glieder der Folge nicht räumlich um x herum häufen. Auch eine unendliche „Stapelung“ gilt als Häufungspunkt. Häufungen ohne Stapelungen werden wir im Begriff des Häufungspunktes einer Menge kennenlernen (vgl. 3. 10).
Die Bestimmung der Häufungspunkte einer Folge ist im Allgemeinen eine komplizierte Angelegenheit. Im konvergenten Fall ist die Aufgabe einfach:
Satz (Häufungspunkte konvergenter Folgen)
Sei (xn)n ∈ ℕ eine konvergente Folge in ℝ, und sei x = limn xn. Dann ist x der eindeutige Häufungspunkt von (xn)n ∈ ℕ.
Dagegen zeigen die obigen Beispiele, dass eine Folge auch gar keinen oder mehrere Häufungspunkte besitzen kann. Die auftretenden Mengen sind vielfältig, aber nicht beliebig:
Beispiele
(1) | Die periodische Folge (a1, …, an, a1, …, an, a1, …, an, …) besitzt genau die Häufungspunkte a1, …, an. Damit ist jede endliche Teilmenge von ℝ die Menge der Häufungspunkte einer Folge. |
(2) | Jedes x ∈ [ 0, 1 ] ist Häufungspunkt der Folge im Diagramm rechts, die [ 0, 1 ] immer feiner durchläuft: 0, 1, 0, 1/2, 1, 0, 1/4, 2/4, 3/4, 1, 0, 1/8, 2/8, …, 6/8, 7/8, 1, … Ist (xn)n ∈ ℕ eine Aufzählung von ℚ, so ist sogar jede reelle Zahl ein Häufungspunkt der Folge. Eine Folge kann also überabzählbar viele Häufungspunkte besitzen. |
(3) | Sind 1/2, 1/3, 1/4, … Häufungspunkte einer Folge, so ist auch 0 ein Häufungspunkt. Damit tritt nicht jede Teilmenge von ℝ als Häufungspunktmenge auf. |
Der folgende Satz ist geeignet, die Aussagen dieser Beispiele zu beweisen:
Satz (Charakterisierung der Häufungspunkte)
Seien (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ℝ und x ∈ ℝ. Dann ist x genau dann ein Häufungspunkt von (xn)n ∈ ℕ, falls gilt:
∀ε > 0 ∀n0 ∃n ≥ n0 |x − xn| < ε. (Häufungspunktbedingung für x)
Eine äquivalente Formulierung der Häufungspunktbedingung für x lautet:
Für alle ε > 0 gibt es unendliche viele n mit |xn − x| < ε.
Der Leser vergleiche dies noch einmal mit der Konvergenzbedingung für x:
Für alle ε > 0 gibt es ein n0, sodass für alle n ≥ n0 gilt, dass |xn − x| < ε.
Die Konvergenzbedingung für x ist stärker. Dort wird verlangt, dass es nur endlich viele Ausnahmen n zu „|xn − x| < ε“ gibt. Für „x ist Häufungspunkt“ wird lediglich verlangt, dass es unendlich viele Zeugen n für „|xn − x| < ε“ gibt.