4.6 Das Cauchy-Kriterium für Reihen

Satz (Cauchy-Kriterium der Konvergenz für Reihen)

Sei ∑_n x_n eine Reihe in ℝ. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a)	∑_{n  ∈  ℕ} x_n konvergiert.

(b)	∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ m ≥ n₀ \|∑_{m ≤ k ≤ n} x_k\| < ε. (Cauchy-Bedingung für Reihen)

(c)	∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ \|∑_{n₀ ≤ k ≤ n} x_k\| < ε. (Cauchy-Bedingung für Reihen, II)

Zur Cauchy-Bedingung in der Form (c): Alle Summen ∑_{n₀ ≤ k ≤ n} x_k (schwarze Punkte) der Summanden x_k (weiße Punkte) liegen im ε-Streifen um die x-Achse.

Die Reihe ∑_n x_n ist per Definition die Folge (s_n)_{n  ∈  ℕ} ihrer Partialsummen, und diese Folge konvergiert wie jede Folge in ℝ genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Die Aussagen (b) und (c) des Satzes sind äquivalente Formulierungen der Aussage „(s_n)_{n  ∈  ℕ} ist eine Cauchy-Folge“. Statt „< ε“ kann man wieder „≤ ε“ oder „< 2 ε“ in die Bedingungen einsetzen, und die Summe kann man auch über „n₀ ≤ k ≤ 2 n“ bzw. „m ≤ k ≤ 2 n“ laufen lassen. Man darf aber nicht alles:

Warnung

Aus der Konvergenz von ∑_n x_n folgt im Allgemeinen nicht, dass

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ m ≥ n₀ ∑_{m < k ≤ n} |x_k| < ε.

Man darf also in der Regel die Betragsstriche nicht in die Summe reinziehen.

Beispiele hierfür werden wir in 4. 7 und 4. 8 kennenlernen.

Das Cauchy-Kriterium wird in der Praxis oft zum Nachweis der Konvergenz oder Divergenz einer Reihe eingesetzt. Oft genügen schwächere Versionen wie zum Beispiel:

Satz (Nullfolgenbedingung)

Sei ∑_n x_n eine konvergente Reihe in ℝ. Dann ist die Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} der Summanden eine Nullfolge, d. h., es gilt lim_n x_n = 0.

Setzen wir nämlich n = m in der Cauchy-Bedingung, so erhalten wir

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ |x_n| < ε, d. h. lim_n x_n = 0.

Für obiges Diagramm heißt dies: Wir können durch Vergrößerung von n₀ erreichen, dass die Summen ∑_{n₀ ≤ k ≤ m} x_k und die Summanden x_k im ε-Streifen liegen.

Beispiel

Gilt |x_n| > 1/10 für unendlich viele n, so ist (x_n)_{n  ∈  ℕ} keine Nullfolge, also divergiert die Reihe ∑_n x_n.

Das Cauchy-Kriterium für Reihen liefert stärkere Aussagen, die mit der Nullfolgenbedingung nicht mehr behandelt werden können:

Beispiel

Gilt |x_n + … + x_2ⁿ| > 1/10 für unendlich viele n, so divergiert ∑_n x_n.

Die harmonische Reihe (vgl. 4. 5) zeigt:

Die Reihe ∑_n x_n kann divergieren, obwohl lim_n x_n = 0 gilt !

Dass die Summanden eine Nullfolge bilden, ist also notwendig für die Konvergenz einer Reihe, aber nicht hinreichend. Es besteht die Möglichkeit der Divergenz bei verschwindenden Zuwächsen.

Schließlich halten wir noch fest:

Satz (Abschneiden von Anfangsstücken)

Sei ∑_n x_n eine Reihe in ℝ und sei m₀  ∈  ℕ. Dann konvergiert ∑_n x_n genau dann, wenn ∑_n ≥ m₀ x_n konvergiert.

Auch dies folgt sofort aus dem Cauchy-Kriterium, denn oberhalb von m₀ sind die Werte |∑_{m ≤ k ≤ n} x_k| für beide Reihen gleich. Der Satz lässt sich noch durch eine Summenformel ergänzen. Im Fall der Konvergenz gilt für alle k:

∑_n x_n = ∑_n ≤ k x_n + ∑_n > k x_n. (endliche Abspaltungsregel)

Die Abspaltungsregel hat die Form eines Assoziativgesetzes:

x₀ + x₁ + … + x_n + … = (x₀ + … + x_k) + x_k + 1 + x_k + 2 + …

Allgemeiner ändern im Fall der Konvergenz auch unendlich viele Blockbildungen die Summe nicht:

x₀ + x₁ + … + x_n + … = (x₀ + … + x_k₀) + (x_k₀ + 1 + … + x_k₁) + …

(endliche Zusammenfassungen)

Die divergente Reihe ∑_n (−1)ⁿ zeigt, dass derartige Blockbildungen Konvergenz (und verschiedene Summen) erzeugen können, wenn die Ausgangsreihe divergiert (vgl. 4. 1.).

Wir fassen zusammen:

Liegt Konvergenz vor, so darf in einer unendlichen Reihe beliebig geklammert werden.

Das Thema „Kommutativgesetz im Unendlichen“ ist schwieriger. Wir diskutieren es in Sektion 4. 8.