4.9 Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Satz (Majorantenkriterium für Konvergenz)

Sei ∑_n x_n eine Reihe in ℝ. Weiter sei ∑_n y_n eine konvergente Reihe mit Summanden in [ 0, +∞ [ mit der Eigenschaft

|x_n| ≤ y_n für alle n.

Dann konvergiert ∑_n x_n absolut und es gilt |∑_n x_n| ≤ ∑_n |x_n| ≤ ∑_n y_n.

Konvergiert ∑_n y_n, so konvergiert jede Reihe ∑_n x_n, deren Summanden x_n sich im grauen Bereich befinden.

Wir betrachten das Kriterium zuerst für den Fall, dass auch alle x_n größergleich null sind. Dann sind die Partialsummen (s_n)_{n  ∈  ℕ} von ∑_n x_n und (t_n)_{n  ∈  ℕ} von ∑_n y_n monoton steigend, und nach Voraussetzung existiert

t = lim_n t_n = ∑_n y_n.

Wegen s_n ≤ t_n für alle n gilt

s₀ ≤ s₁ ≤ … ≤ s_n ≤ … ≤ t,

also existiert

s = ∑_n x_n = lim_n s_n ≤ t.

Ist ∑_n x_n eine Reihe mit |x_n| < y_n für alle n, so zeigt das gerade geführte Argument, dass ∑_n |x_n| ≤ t. Also ist die Reihe ∑_n x_n absolut konvergent und damit konvergent.

Beispiele

(1)	Die Reihe ∑_n ≥ 1 1/n² konvergiert, denn für alle n ≥ 1 gilt ¹_n² ≤ ²_{n (n + 1)}, da n (n + 1) = n² + n ≤ 2 n², und diese Majorisierung ist konvergent, da 2 ∑_n ≥ 1 1/(n (n + 1)) = 2 (vgl. 4. 2).

(2)	Die konvergente Reihe ∑_n ≥ 1 1/n² können wir nun selbst als Majorante verwenden. Ist k ≥ 2, so ist 1/n^k ≤ 1/n² für alle n ≥ 1 und damit ist die Reihe ∑_n ≥ 1 1/n^k konvergent.

(3)	Ist (x_n)_n ≥ 1 eine (nicht notwendig konvergente) Folge in ℝ, so konvergiert die Reihe ∑_n ≥ 1 ^sin(x_n)_n² = ^sin(x₁)₁ + ^sin(x₂)₄ + ^sin(x₃)₉ + … absolut. Denn für alle n ≥ 1 gilt \|sin(x_n)/n²\| ≤ 1/n².

Oft findet man eine konvergente Reihe ∑_n y_n, die schließlich oberhalb der betrachteten Reihe ∑_n x_n liegt, d. h., es gilt |x_n| ≤ y_n für alle n größergleich einem n₀. In diesem Fall gilt die Konvergenzaussage des Majorantenkriteriums weiterhin, die Abschätzung ist dagegen anzupassen:

|∑_n x_n| ≤ ∑_n |x_n| ≤ ∑_n ≥ n₀ y_n + ∑_k < n₀ x_k.

Das Majorantenkriterium ist die Mutter aller weiteren Konvergenzkriterien. Zwei wichtige Beispiele werden wir in der nächsten Sektion besprechen. Hier betrachten wir noch ein Kriterium zur Divergenz.

Satz (Minorantenkriterium für Divergenz)

Sei ∑_n y_n eine divergente Reihe mit Summanden in [ 0, +∞ [. Weiter sei ∑_n x_n eine Reihe mit Summanden in [ 0, +∞ [ mit der Eigenschaft

y_n ≤ x_n für alle n.

Dann divergiert ∑_n x_n.

Divergiert ∑_n y_n, so divergiert jede Reihe ∑_n x_n, deren Summanden x_n sich im grauen Bereich befinden.

Beispiel

Gleichmäßige progressive Ausdünnungen der harmonischen Reihe sind divergent. So gilt zum Beispiel

∑_n ≥ 1 ¹_6 + 4 n = ¹₁₀ + ¹₁₄ + ¹₁₈ + ¹₂₂ + … = +∞.

Zum Beweis muss man nur beobachten, dass 1/10 ∑_n ≥ 1 1/n eine divergente Minorante der Reihe ist.

Dem Leser ist vielleicht aufgefallen, dass die beiden Kriterien nicht vollkommen symmetrisch sind. Im Minorantenkriterium kommen keine Betragsstriche vor. Dies lässt sich in der Tat nicht erreichen:

Bemerkung

Ist ∑_n y_n divergent und ∑_n x_n eine Reihe in ℝ mit

y_n ≤ |x_n| für alle n,

so zeigt das Minorantenkriterium, dass die Reihe ∑_n |x_n| divergiert. Dies heißt, dass ∑_n x_n nicht absolut konvergiert, d. h., ∑_n x_n divergiert oder konvergiert bedingt. Die alternierende harmonische Reihe ∑_n ≥ 1 (−1)^n − 1/n zeigt, dass der zweite Fall eintreten kann.