5.12 Potenzreihen

Definition (Potenzreihe, Konvergenzbereich)

Für a_n, p, x  ∈  ℝ heißt die Reihe ∑_n a_n (x − p)ⁿ die Potenzreihe mit Koeffizienten a_n und Entwicklungspunkt p im Punkt x. Weiter setzen wir

K = { x  ∈  ℝ | die Reihe ∑_n a_n (x − p)ⁿ konvergiert }.

Die Menge K heißt der Konvergenzbereich der Potenzreihe ∑_n a_n (x − p)ⁿ.

Um uns den neuen Begriffen zu nähern, nehmen wir zunächst p = 0 an. Dann hat eine Potenzreihe die Form ∑_n a_n xⁿ. Derartige mit einer Variablen x präsentierte Reihen sind uns schon begegnet:

Beispiele

(1)	Die geometrische Reihe ∑_n xⁿ ist eine Potenzreihe mit den Koeffizienten a_n = 1 für alle n und dem Konvergenzbereich K = ] −1, 1 [. Für x  ∈  K gilt ∑_n xⁿ = 1/(1 − x) (vgl. 4. 3).

(2)	Die Exponentialreihe ∑_n xⁿ/n ! ist eine Potenzreihe mit den Koeffizienten a_n = 1/n ! für alle n. Es gilt K = ℝ und ∑_n xⁿ/n ! = e^x für alle x (vgl. 4. 12).

Jede Potenzreihe ∑_n a_n xⁿ definiert eine Funktion auf ihrem Konvergenzbereich K, die oft ebenfalls mit ∑_n a_n xⁿ bezeichnet wird. Damit steht „∑_n a_n x_n“ für jedes x  ∈  ℝ für eine Reihe, für jedes x  ∈  K für eine reelle Zahl (die Summe der Reihe) und zudem jetzt auch noch für eine Funktion auf K.

Lassen wir beliebige Entwicklungspunkte p zu, so unterscheiden sich die Funktionen ∑_n a_n (x − p)ⁿ von ∑_n a_n xⁿ nur durch eine Translation um p. Bei der Untersuchung des Konvergenzverhaltens von Potenzreihen können wir also ohne Verlust p = 0 annehmen.

Die große Frage, die sich auch wieder durch den Blick auf die Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ mit exp(x) = ∑_n xⁿ/n ! motivieren lässt, lautet:

Welche Funktionen f : ℝ → ℝ lassen sich als Potenzreihe darstellen, d. h., wann gibt es Koeffizienten a_n mit f (x) = ∑_n a_n xⁿ für alle x? Wie berechnen wir die Koeffizienten?

In der reellen Differentialrechnung kann man diese Fragen ganz gut beantworten, in der komplexen Analysis (der Funktionentheorie) perfekt; in ℂ lässt sich jede differenzierbare Funktion als Potenzreihe darstellen, in ℝ nicht. Die Koeffizienten gewinnt man durch Differenzieren. Wir verweisen den Leser hierzu auf 7. 12.

Die Konvergenzbereiche der geometrischen Reihe und der Exponentialreihe sind typisch. Der Konvergenzbereich K einer Potenzreihe ∑_n a_n xⁿ ist immer ein symmetrisches Intervall um den Nullpunkt, also von der Form

] −R, R [, ] −R, R ], [ −R, R [, [ −R, R ],

wobei der sog. Konvergenzradius R auch gleich +∞ sein kann. Dieser lässt sich durch

R = $\frac{1}{{limsup}_{n}^{n} \sqrt{{|a}_{n} |}}$ (Formel von Cauchy-Hadamard)

berechnen, wobei wir für diese Formel „1/0 = +∞“ vereinbaren.

Alle vier Intervalltypen können als Konvergenzbereich auftreten. Die geometrische Reihe liefert ein Beispiel für den offenen Fall, die drei anderen Fälle werden durch die folgenden Beispiele belegt.

Beispiele

(1)	∑_n ≥ 1 xⁿ/n hat den Konvergenzbereich [ −1, 1 [. Der Punkt x = 1 entspricht der harmonischen Reihe und x = −1 der alternierenden harmonischen Reihe.

(2)	∑_n ≥ 1 (−1)ⁿ/n xⁿ hat den Konvergenzbereich ] −1, 1 ]. Nun entspricht x = 1 der alternierenden harmonischen Reihe und x = −1 der harmonischen Reihe. Die definierte Funktion ist die Spiegelung der Funktion in (1) an der y-Achse, da ∑_n ≥ 1 (−1)ⁿ/n xⁿ = ∑_n ≥ 1 (−x)ⁿ/n.

(3)	∑_n ≥ 1 xⁿ/n² hat den Konvergenzbereich [ −1, 1 ].

Die durch die Potenzreihe in Beispiel (1) definierte Funktion lässt sich mit Methoden der Differential- und Integralrechnung bestimmen. Es gilt

∑_n ≥ 1 xⁿ/n = − log(1 − x) für alle x  ∈  [ −1, 1 [, d. h.

∑_n ≥ 1 (−1)^n − 1/n xⁿ = log(1 + x) für alle x  ∈  ] −1, 1 ] (Logarithmus-Reihe)

mit dem Logarithmus zur Basis e. Das Einsetzen von x = 1 liefert

log (2) = ∑_n ≥ 1 (−1)^n − 1/n 1ⁿ = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + …

Die Bestimmung der durch eine Potenzreihe dargestellten Funktion ist im Allgemeinen sehr schwierig. Man weiß zumindest, dass sie stetig ist:

Satz (Abelscher Grenzwertsatz)

∑_n a_n xⁿ ist stetig auf ihrem Konvergenzbereich K.

Man kann durch Majorisierung mit einer geometrischen Reihe zeigen, dass ∑_n a_n xⁿ für alle r < R gleichmäßig auf ] − r, r [ konvergiert, d. h., für alle ε > 0 existiert ein n₀, sodass |∑_n > n₀ a_nxⁿ| < ε für alle x mit |x| < r. Dies liefert die Stetigkeit der Potenzreihe auf allen Intervallen ] − r, r [, r < R, und damit auf ] − R, R [. Der Knackpunkt des Abelschen Satzes sind die Randpunkte −R und R von K, falls diese zu K gehören.