6.6 Der allgemeine Logarithmus
Definition (Logarithmus zu einer positiven Basis a ≠ 1)
Sei a > 0, a ≠ 1. Dann heißt die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion expa der Logarithmus zur Basis a. In Zeichen schreiben wir
loga : ] 0, +∞ [ → ℝ.
Die Funktion expa ist für a > 1 streng monoton steigend und für a ∈ ] 0, 1 [ streng monoton fallend, sodass loga = (expa)− 1 existiert. Die konstante Funktion exp1 lässt sich nicht umkehren, „log1“ ist nicht definiert.
Die Eigenschaften der Funktionen loga : ] 0, +∞ [ → ℝ für a > 1 sind denen des natürlichen Logarithmus ähnlich, für Basen a zwischen 0 und 1 ändern sich allerdings Monotonie und Vorzeichen.
Für alle a > 0 gilt:
Stetigkeit | loga ist stetig auf ] 0, +∞ [ |
Multiplikationstheorem | loga(x y) = loga(x) + loga(y) für alle x, y > 0 |
Steigung im Punkt 1 | limx → 0, x ≠ 0 loga(x + 1)/x = 1/log(a) |
Wachstum | limx → +∞ loga(x)/k = 0 für alle k ≥ 1 |
Für a > 1 gilt:
Monotonie | loga ist streng monoton steigend |
Vorzeichen | loga(x) < 0 für x < 1, loga(1) = 0, loga(x) > 0 für x > 1 |
Für a mit 0 < a < 1 gilt dagegen:
Monotonie | loga ist streng monoton fallend |
Vorzeichen | loga(x) > 0 für x < 1, loga(1) = 0, loga(x) < 0 für x > 1 |
Die Grundregel für den Umgang mit den Logarithmusfunktionen lautet
y = ax ist äquivalent zu loga(y) = x, d. h.,
loga holt den Exponenten aus ax.
Beispiele
(1) | loga(a) = loga(a1) = 1, loga(1) = loga(a0) = 0, loga(1/a) = loga(a− 1) = −1 nach der Grundregel. Letzteres folgt auch aus dem Multiplikationstheorem: 0 = loga(1) = loga(a · 1/a) = loga(a) + loga(1/a) = 1 + loga(1/a). |
(2) | log2(1) = 0, log2(2) = 1, log2(4) = 2, log2(1/16) = −4, log10(1) = 0, log10(10) = 1, log10(100) = 2, log10(1/1000) = −3. |
Die allgemeinen Logarithmusfunktionen besitzen, als Funktionenmenge betrachtet, eine Reihe von bemerkenswerten Eigenschaften. Im Folgenden ist x positiv und die Basen a und b sind positiv und von 1 verschieden.
Rechenregeln
(1) | loga(x) = log(x)log(a) , da x = elog(x) = e log(x)/log(a) · log(a) = alog(x)/log(a). |
(2) | loga(x) = log(x)log(a) = logb(x) log(b)logb(a) log(b) = logb(x)logb(a) . |
(3) | loga(x) = log1/a(x)log1/a(a) = log1/a(x)− 1 = − log1/a(x). Dies kann man auch aus ax = (1/a)− x und der Grundregel gewinnen, denn loga holt aus y = ax das x und log1/a holt aus y = (1/a)− x das −x. |
(4) | loga(b) = logb(b)logb(a) = 1logb(a) . |
Es ist bemerkenswert, wie einfach sich die allgemeinen Logarithmen umrechnen und auf den natürlichen Logarithmus zurückführen lassen.
Beispiele
(1) | log10(x) = log(x)/log(10). |
(2) | log10000(x) = log10(x)/log10(10000) = log10(x)/4, allgemein logac(x) = loga(x)/loga(ac) = loga(x)/c für alle c ≠ 0. |
(3) | log(2) = 1/log2(e), log2(10) = 1/log10(2). |