6.7 Die komplexe Exponentialfunktion

Definition (komplexe Exponentialfunktion)

Wir definieren die (komplexe) Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ durch

exp(z) = ∑_n zⁿ/n! für alle z  ∈  ℂ. (Reihendefinition von exp)

Wir schreiben auch e^z anstelle von exp(z).

Die Diagramme zeigen K = { z  ∈  ℂ | |z| = 1 } und die Bildmengen f_n[ Y ] für

Y = { i y | y  ∈  [ − π, π ] } ], n = 1, …, 8, wobei f_n : ℂ → ℂ, f_n(z) = ∑_{1 ≤ k ≤ n} z^k/k !

Die komplexe Exponentialfunktion ist wie die reelle Exponentialfunktion definiert, und viele Resultate übertragen sich von ℝ nach ℂ: Die Exponentialfunktion ist stetig auf ℂ und das Cauchy-Produkt liefert das Additionstheorem:

e^z + w = e^z · e^w für alle z, w  ∈  ℂ.

Speziell gilt für alle x, y  ∈  ℝ:

e^{x + iy} = e^x e^i y für alle x, y  ∈  ℝ.

Um die Abbildungseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion zu verstehen, genügt es also, die Werte e^x und e^i y mit x, y  ∈  ℝ zu untersuchen: Kennen wir die komplexe Exponentialfunktion auf der x- und der y-Achse, so kennen wir sie auf ganz ℂ. Das Verhalten auf der x-Achse ist uns gut bekannt, die komplexe Exponentialfunktion setzt ja die reelle Exponentialfunktion fort. Neuartig ist

e^{i y} = ∑_n iⁿ yⁿ/ n! = 1 + i y − y²/2 − i y³/6 ± …

In ∑_n yⁿ/n ! ist hier die zyklische Folge 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, … eingewebt. Alle Summanden von e^i y befinden sich also auf dem Achsenkreuz der Ebene. Einen genaueren Einblick erlaubt uns aber erst die komplexe Konjugation. Für alle z  ∈  ℂ gilt nämlich

exp(z) = ∑_n zⁿ/n ! = ∑_n zⁿ/n ! = ∑_n zⁿ/n ! = exp(z),

und damit gilt für alle y  ∈  ℝ:

e^i y · e^i y = e^i y · e^i y = e^i y · e^−i y = e⁰ = 1.

Wegen z z = |z|² ist also |e^i y| = 1 für alle y  ∈  ℝ. Die komplexe Exponentialfunktion bildet damit die y-Achse der Ebene stetig in den Einheitskreis K = { z  ∈  ℂ | |z| = 1 } ab. Die erste Idee, die y-Achse stetig in K abzubilden, ist, sie aufzuwickeln. Man kann in der Tat zeigen, dass die komplexe Exponentialfunktion sich in dieser Weise verhält. Das genaue (wundervolle !) Ergebnis der Untersuchung lautet anschaulich formuliert:

Die komplexe Exponentialfunktion wickelt die y-Achse längentreu auf den Einheitskreis K auf. Es gilt e⁰ = (1, 0)  ∈  K. Entlang der positiven y-Achse verläuft die Aufwicklung gegen den Uhrzeigersinn, entlang der negativen y-Achse verläuft sie im Uhrzeigersinn.

Die y-Achse wird bei der Kreisaufwicklung nicht gedehnt und nicht gestaucht. Das Geradenstück [ 0, 2 π [ × { i } wird, beginnend im Punkt (0, 1), gegen den Uhrzeigersinn zu K umgeformt. Ebenso wird Y = ] − π, π ] × { i } zu K umgeformt usw. Speziell erhalten wir:

Längentreue Kreisaufwicklung der y-Achse durch e^z

Werte der Kreisaufwicklung

e⁰ = 1 = (1, 0),

e^i π/4 = (1, 1)/ $\sqrt{2}$ = (1 + i)/ $\sqrt{2}$ ,

e^i π/2 = i, und weiter:

Eulersche Identität

e^i π + 1 = 0

Aus e^i 2π = 1 und dem Additionstheorem ergibt sich weiter:

Periodizität der komplexen Exponentialfunktion

e^z = e^{z + i 2 π} = e^{z + k 2 π} für alle z  ∈  ℂ und alle k  ∈  ℤ.

Wir haben in unserer Diskussion den Kreisumfang 2 π aus der Geometrie übernommen. Heute wird die Zahl π in der Analysis oft analytisch eingeführt: Man definiert 2 π als die Periode der komplexen Exponentialfunktion, d. h. als die kleinste positive reelle Zahl y mit e^i y = 1. Dass 2 π dann tatsächlich der geometrische Umfang des Einheitskreises ist, folgt aus der Längentreue der Kreisaufwicklung. Wir diskutieren in der letzten Sektion dieses Kapitels, wie man diese Längentreue nachweisen kann.