7.5 Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Satz (Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit)

Sei f : P → ℝ differenzierbar in p.

Dann ist f stetig in p.

Der Satz lässt sich mit Hilfe des Approximationssatzes 7. 3 leicht einsehen. Ist nämlich f : P → ℝ differenzierbar im Punkt p, so gilt

f (x) = f (p) + a (x − p) + r(x)

für alle x  ∈  P, wobei a = f ′(p) und

lim_x → p r(x) = 0.

(Da sogar lim_x → p r(x)/(x − p) = 0.) Folglich ist f stetig in p, da

lim_x → p f (x) = lim_x → p (f (p) + a f ′(p) + r(x)) = f (p) + a 0 + 0 = f (p).

Damit gilt:

Jede differenzierbare Funktion ist stetig.

Die Umkehrung ist, wie wir schon gesehen hatten, nicht richtig. Hier noch einmal einige Beispiele:

Beispiele

(1)	Die Betragsfunktion abs : ℝ → ℝ, abs(x) = \|x\| für alle x, ist stetig, aber im Nullpunkt nicht differenzierbar.

(2)	Die Wurzelfunktion g : [ 0, +∞ [ → ℝ mit g(x) = $\sqrt{x}$ für alle x ≥ 0 ist stetig, aber im Nullpunkt nicht differenzierbar. Das Gleiche gilt für die auf ganz ℝ definierte dritte Wurzel h : ℝ → ℝ mit h(x) = ³ $\sqrt{x}$ = „das eindeutige y mit y³ = x“ für alle x  ∈  ℝ.

(3)	Sei f : [ −1, 1 ] → ℝ definiert durch f (x) = $\sqrt{1 - x^{2}}$ für alle x  ∈  [ − 1, 1 ]. Dann ist der Graph von f die obere Hälfte des Einheitskreises. Die Funktion f ist stetig, aber in den Punkten −1 und 1 nicht differenzierbar.

Im ersten Beispiel liegt ein „Knick“ vor, der verhindert, dass wir der Funktion eine lokale Steigung zuweisen können. Die Funktionen in den anderen Beispielen besitzen dagegen geometrische Tangenten an ihren Nullstellen, aber diese sind Senkrechte und damit existiert die Ableitung nach unserer Definition nicht.

Der Satz und die Beispiele lassen viele Fragen über den genaueren Zusammenhang der beiden Grundbegriffe der Differenzierbarkeit und der Stetigkeit offen. Wir wollen einige davon diskutieren. Zunächst fragen wir:

Ist die Ableitung f ′ einer differenzierbaren Funktion f stets wieder differenzierbar?

Die Antwort ist: Nein.

Beispiel

Sei f : ℝ → ℝ mit f (x) = x² für x < 0 und f (x) = x³ für x ≥ 0. Dann gilt

$f ′ (x) = { \begin{matrix} 2 x, & falls x < 0, \\ 3 x^{2}, & falls x \geq 0. \end{matrix}$

f ′ ist im Punkt 0 nicht differenzierbar. Analoges gilt auch für g : ℝ → ℝ mit g(x) = x |x| für alle x.

Bescheidener fragen wir:

Ist die Ableitung f′ einer differenzierbaren Funktion f wenigstens immer stetig?

Die Antwort ist: Nein.

Beispiel

Die Funktion f : ℝ → ℝ mit f (x) = x² sin(1/x) für x ≠ 0 und f (0) = 0 ist differenzierbar mit

f ′(p) = 2 x sin(1/x) − cos(1/x)

für alle x ≠ 0, und

f ′(0) = lim_h → 0 f (h)/h = lim_h → 0 h sin(1/h) = 0.

f ′ hat also im Nullpunkt eine Unstetigkeitsstelle zweiter Art.

Man kann zeigen, dass eine Unstetigkeit der Ableitung immer zweiter Art ist, d. h., die Ableitung f ′ einer differenzierbaren Funktion kann keine einfachen Sprünge machen !

Schließlich fragen wir noch:

Ist eine stetige Funktion f : ℝ → ℝ wenigstens immer in einem Punkt differenzierbar?

Auch dies ist zu verneinen. Erste Gegenbeispiele wurden von Bolzano und Weierstraß konstruiert, die folgende Funktion stammt von Takagi.

Beispiel

Sei g : ℝ → ℝ definiert durch g(a + x) = |x| für alle a  ∈  ℤ und x  ∈  [ −1/2, 1/2 [. Dann definiert

f (x) = ∑_n g(2ⁿ x)/2ⁿ für alle x  ∈  ℝ

eine stetige Funktion auf ℝ, die in keinem Punkt differenzierbar ist.