8.1 Partitionen und Treppenfunktionen

Definition (Partition, Zerlegungspunkte, Stützstellen)

Sei [ a, b ] ein reelles Intervall, und seien t₀, …, t_n, x₀, …, x_n reelle Zahlen mit

a = t₀ ≤ x₀ ≤ t₁ ≤ x₁ ≤ … ≤ t_n ≤ x_n ≤ b.

Dann heißt p = (t_k, x_k)_k ≤ n eine Partition von [ a, b ] der Länge n + 1. Die Zahlen t_k heißen die Zerlegungspunkte und die Zahlen x_k die Stützstellen der Partition p. Wir setzen weiter t_n + 1 = b.

(a)	Ist δ > 0 und gilt t_k + 1 − t_k ≤ δ für alle k ≤ n, so heißt p eine δ-Partition oder eine Partition der Feinheit δ. Die reelle Zahl δ(p) = max_k ≤ n (t_k + 1 − t_k) heißt die (minimale) Feinheit von p.

(b)	Gilt t_k + 1 − t_k = ^b − a_n + 1 für alle k ≤ n, so heißt p äquidistant.

Eine Partition p von [ a, b ] der Länge 5 mit Zerlegungspunkten t_k und Stützstellen x_k.

Es gilt δ(p) = t₂ − t₁.

Im Gegensatz zur Differentiation analysieren wir in der Integrationstheorie eine Funktion f : [ a, b ] → ℝ nicht lokal, sondern als Ganzes. Partitionen werden uns dazu dienen, f durch einfache Funktionen zu approximieren. Bevor wir uns diesen Approximationen zuwenden, wollen wir Partitionen noch etwas genauer betrachten.

Sei also [ a, b ] ein Intervall, und sei p = (t_k, x_k)_k ≤ n eine Partition von [ a, b ] der Länge n + 1. Die Zerlegungspunkte t_k der Partition teilen das Intervall [ a, b ] in n + 1 sich an den Randpunkten überschneidende abgeschlossene Teilintervalle auf:

[ t₀, t₁ ], [ t₁, t₂ ], …, [ t_n − 1, t_n ], [ t_n, t_n + 1 ], a = t₀, b = t_n + 1.

Dies motiviert, warum wir n + 1 und nicht n als Länge von p betrachten. Wir verlangen dabei nicht, dass t_k kleiner als t_k + 1 ist. Die Intervalle [ t_k, t_k + 1 ] können aus genau einem Punkt bestehen. Es kann zum Beispiel auch a = t₀ = t₁ = t₂ und damit { a } = [ t₀, t₁ ] = [ t₁, t₂ ] gelten.

Die Stützstellen x_k der Partition liegen in den Zerlegungsintervallen:

x₀  ∈  [ t₀, t₁ ], x₁  ∈  [ t₁, t₂ ], …, x_n  ∈  [ t_n, t_n + 1 ].

Auch sie können zusammenfallen. Es kann etwa x₀ = t₁ = x₁ gelten.

Eine Partition p hat immer die Feinheit δ(p). Ist δ ≥ δ(p), so ist p auch eine Partition der Feinheit δ. Ist δ < δ(p), so ist p keine Partition der Feinheit δ.

Eine äquidistante Partition p von [ a, b ] zerlegt [ a, b ] in n+1 gleichlange Teilintervalle. Es gilt δ(p) = (b − a)/(n + 1). Die Stützstellen können wieder beliebig in den Teilintervallen liegen.

Beispiele

(1)	Für ein Intervall [ a, b ] und eine natürliche Zahl n sei t_k = x_k = a + k ^b − a_n + 1 für alle k ≤ n. Dann ist p_n = (t_k, x_k)_k ≤ n eine äquidistante Partition von [ a, b ] der Länge n + 1. Es gilt δ(p_n) = (b − a)/(n + 1) und damit lim_n δ(p_n) = 0.

(2)	Sei [ a, b ] ein Intervall und seien a = t₀ ≤ t₁ ≤ … ≤ t_n ≤ t_n + 1 = b. Natürliche Möglichkeiten der Definition von Stützstellen x_k, k ≤ n, sind: links: x_k = t_k mittig: x_k = ^{t_k + t_k + 1}₂ rechts: x_k = t_k + 1.

Für manche Betrachtungen genügen Zerlegungspunkte t_k eines Intervalls, Stützstellen werden nicht gebraucht. Wir nennen p = (t_k)_k ≤ n eine (stützstellenfreie) Partition von [ a, b ] der Länge n + 1, falls a = t₀ ≤ … ≤ t_n ≤ b gilt. Wir setzen wieder t_n + 1 = b und definieren die Feinheitsbegriffe und die Äquidistanz wie früher. Diese einfacheren Partitionen eignen sich beispielsweise zur Definition von Treppenfunktionen:

Definition (Treppenfunktion)

Ein f : [ a, b ] → ℝ heißt eine Treppenfunktion (mit endlich vielen Stufen) auf [ a, b ], falls es eine Partition p = (t_k)_k ≤ n von [ a, b ] und c₀, …, c_n  ∈  ℝ gibt mit

f (x) = c_k für alle k ≤ n und x  ∈  ] t_k, t_k + 1 [.

Die Werte von f an den Zerlegungspunkten t_k sind beliebig. Der Wertebereich von f ist also eine Teilmenge von { c₀, …, c_n, f (t₀), …, f(t_n + 1) }.

Beispiele

(1)	Sei f : [ 0, 1 ] → ℝ definiert durch f (x) = 0 für x  ∈  [ 0, 1/2 [, f (1/2) = 1/2 und f (x) = 1 für x  ∈  ] 1/2, 1 ]. Dann ist f eine Treppenfunktion.

(2)	Sei g : [ 0, 1 ] → ℝ die Dirichletsche Sprungfunktion auf [ 0, 1 ]. Dann nimmt g nur die beiden Werte 0 und 1 an, aber g ist keine Treppenfunktion.

(3)	Sei h : [ 0, 1 ] → ℝ mit h(x) = 1/2ⁿ für alle n und alle x  ∈  ] 1/2^n + 1, 1/2ⁿ ]. Dann ist h keine Treppenfunktion, da h unendlich viele Werte annimmt.

(4)	Ist f : [ a, b ] → ℝ eine Treppenfunktion und stimmt g : [ a, b ] → ℝ bis auf endlich viele Stellen mit f überein, so ist auch g eine Treppenfunktion.