10. Normalformen

Wir stellen einige Normalformen von Matrizen zusammen, d. h., wir geben möglichst einfache Repräsentanten für wichtige Äquivalenzrelationen an. Dabei beschränken wir uns zunächst auf Matrizen in ℂ^{n × n}, n ≥ 1.

Äquivalente Matrizen

Definition

A, B  ∈  ℂ^{n × n} sind äquivalent, falls S, T  ∈  GL(n, ℂ) existieren mit B = S A T⁻¹.

Bedeutung

A und B stellen dieselbe lineare Abbildung bzgl. verschiedener Basen dar, d. h., es gibt ein lineares f : ℂⁿ → ℂⁿ und Basen 𝒜, ℬ, 𝒜′, ℬ′ des ℂⁿ mit A = A^{𝒜, ℬ}_f, B = A^{𝒜′, ℬ′}_f.

Normalformen

Sei A  ∈  ℂ^{n × n}, und sei r = rang(A). Dann gibt es S, T  ∈  GL(n, ℂ) mit

S A T⁻¹ = $( \begin{matrix} E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ . (Normalformdarstellung)

Weiter gibt es S, T  ∈  U(n) und σ₁, …, σ_r > 0 mit

S A T⁻¹ = $( \begin{matrix} diag (σ_{1}, …, σ_{r}) & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ . (Singulärwertzerlegung)

Kongruente Matrizen

Definition

A, B  ∈  ℂ^{n × n} sind kongruent, falls ein S  ∈  GL(n, ℂ) existiert mit B = S*AS.

Bedeutung

A und B stellen dieselbe Sesquilinearform bzgl. einer Basis des ℂⁿ dar, d. h., es gibt eine Sesquilinearform φ : ℂⁿ × ℂⁿ → ℂ und Basen 𝒜, ℬ mit

φ(x, y) = 〈 Φ_𝒜(x), A Φ_𝒜(y) 〉_kanonisch = 〈 Φ_ℬ(x), B Φ_ℬ(y) 〉_kanonisch für alle x, y  ∈  ℂⁿ,

Normalform (für hermitesche Matrizen)

Ist A hermitesch, so existiert ein S  ∈  GL(n, ℂ) mit

S* A S = $( \begin{matrix} E_{s^{+}} \\ - E_{s^{-}} \\ 0 \end{matrix} )$ , (Hauptachsentransformation, Trägheitssatz)

wobei s⁺ und s⁻ die Anzahlen der positiven bzw. negativen Eigenwerte von A sind.

Ähnliche Matrizen

Definition

A, B  ∈  ℂ^{n × n} sind ähnlich, falls ein S  ∈  GL(n, ℂ) existiert mit B = S A S^{− 1}.

Bedeutung

A und B stellen dieselbe lineare Abbildung bezüglich einer Basis dar, d. h., es gibt ein lineares f : ℂⁿ → ℂ und Basen 𝒜, ℬ des ℂⁿ mit

A = A^𝒜_f = A^{𝒜, 𝒜}_f, B = A^ℬ_f = A^{ℬ, ℬ}_f.

Normalformen

Sei A  ∈  ℂⁿ und seien λ₁, …, λ_n die in ihrer algebraischen Vielfachheit gezählten Eigenwerte A. Dann gilt:

(1)	Es gibt ein S  ∈  GL(n, ℂ) und b_ij  ∈  ℂ mit i < j mit S A S⁻¹ = $( \begin{matrix} λ_{1} & b_{12} & … & … & b_{1 n} \\ λ_{2} & b_{23} & … & b_{2 n} \\ … & … & … \\ λ_{n - 1} & b_{n - 1, n} \\ λ_{n} \end{matrix} )$ . (Trigonalisierung, Schur-Zerlegung)

(2)	Ist für jeden Eigenwert λ die geometrische Vielfachheit dim(Eig(f, λ)) gleich der algebraischen Vielfachheit μ_f(λ), so existiert ein S  ∈  GL(n, K) mit S A S⁻¹ = diag(λ₁, …, λ_n). (Diagonalisierung)

(3)	Ist A normal (d. h. AA* = AA), so gibt es ein S  ∈  U(n) mit S A S⁻¹ = diag(λ₁, …, λ_n). (unitäre Diagonalisierung, spektrale Zerlegung)* Insbesondere gilt dies für hermitesche A (A = A) und für unitäre A (A = A⁻¹). Genau für die hermiteschen Matrizen sind alle λ_i reell.

(4)

Es gibt ein S  ∈  GL(n, ℂ) mit

S A S⁻¹ = $( \begin{matrix} J (λ_{1}) \\ … \\ J (λ_{m}) \end{matrix} )$ , (Jordan-Normalform)

wobei nun λ₁, …, λ_m, m ≤ n, die paarweise verschiedenen Eigenwerte von A bezeichnen und jedes J(λ_i) eine aus dim(Eig(A, λ_i)) Jordan-Blöcken zusammengesetze Bidiagonalmatrix ist. Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ_i entspricht der Zeilen- und Spaltenzahl von J(λ_i). Die Matrix SAS⁻¹ ist eine obere Dreiecksmatrix, sodass die Jordan-Normalform die Trigonalisierung verfeinert.

Normalformen für reelle Matrizen

Wir betrachten nun reelle Matrizen A  ∈  ℝ^{n × n}. Die Ergebnisse für die Äquivalenz und die Kongruenz bleiben gleich (mit „symmetrisch“ statt „hermitesch“). Für die Ähnlichkeit ergeben sich Unterschiede, da das charakteristische Polynom p_A über ℝ im Allgemeinen nicht in Linearfaktoren zerfällt:

(1)	Eine Trigonalisierung ist im Allgemeinen nicht möglich.

(2)	Die Diagonalisierung gilt unter den Vielfachheitsvoraussetzungen, wenn p_A in Linearfaktoren zerfällt.

(3)	Eine orthogonale Diagonalisierung ist genau dann möglich, wenn A symmetrisch ist. Wie für ℂ ist dies ein zentrales Ergebnis der Linearen Algebra, vgl. 8. 6.

(4)	Die Jordan-Normalform ist als Verstärkung der Trigonalisierung im Allgemeinen nicht mehr erreichbar. Sie gilt, falls p_A in reelle Linearfaktoren zerfällt.

Eine Matrix A  ∈  ℝ^{n × n} heißt normal, falls AA^t = A^tA. Im Gegensatz zum komplexen Fall ist die Normalität nicht mehr hinreichend für die Diagonalisierbarkeit. Das Beste, was man erreichen kann, ist eine Diagonalform mit (2 × 2)-Kästchen: Es gibt ein S  ∈  O(n) mit

S A S⁻¹ = $( \begin{matrix} λ_{1} \\ … \\ λ_{k} \\ B_{1} \\ … \\ B_{s} \end{matrix} )$ , (Normalform für normale reelle Matrizen)

wobei die λ_i die Eigenwerte von A sind und die B_i  ∈  ℝ^{2 × 2} die schiefsymmetrische Form

B_i = $( \begin{matrix} a_{i} & - b_{i} \\ b_{i} & a_{i} \end{matrix} )$ , b_i ≠ 0

besitzen. Dies zeigt man so: Wegen A  ∈  ℝ^{n × n} ⊆ ℂ^{n × n} gibt es eine Orthonormalbasis 𝒜 des ℂⁿ aus Eigenvektoren von A. Da A reell ist, kann 𝒜 = (x₁, …, x_k, z₁, z₁, …, z_s, z_s) mit x_i  ∈  ℝⁿ erreicht werden. Ersetzt man die komplexen z_i-Paare durch $\sqrt{2}$ Re(z_i), $\sqrt{2}$ Im(z_i)  ∈  ℝⁿ, so erhält man eine Orthonormalbasis 𝒜′ des ℝⁿ, die A in Normalform bringt. Dabei ist a_i = Re(λ) und b_i = Im(λ) für einen komplexen Eigenwert λ von A  ∈  ℂ^{n × n}.

Für den wichtigen Spezialfall einer orthogonalen Matrix A  ∈  O(n) kann man

B_i = $( \begin{matrix} cos α_{i} & - sin α_{i} \\ sin α_{i} & cos α_{i} \end{matrix} )$ , α_i kein Vielfaches von π,

schreiben (da dann a²_i + b²_i = 1). Diese Matrizen stellen Drehungen dar. Da die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix den Betrag 1 haben, lässt sich die Normalform von A  ∈  O(n) als „±1-Kette + Drehkästchen“ beschreiben (vgl. hierzu die Tabelle in 7. 8).