4. Matrizen und lineare Abbildungen

Die einer Matrix zugeordnete lineare Abbildung

Für A  ∈  K^{m × n} ist f_A : Kⁿ → K^m definiert durch f_A(x) = Ax für alle x  ∈  Kⁿ.

Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung

Für f : V → W linear und Basen 𝒜 = (v₁, …, v_n), ℬ = (w₁, …, w_m) von V bzw. W ist die darstellende Matrix A^{𝒜, ℬ}_f = „A_f bzgl. 𝒜, ℬ“ definiert durch

A^{𝒜, ℬ}_f = $( \begin{matrix} Φ_{ℬ} (f (v_{1})) & … & Φ_{ℬ} (f (v_{n})) \end{matrix} )$   ∈   K^{m × n},

wobei Φ_ℬ(w) = (α₁, …, α_m)  ∈  K^m der Koordinatenvektor von w  ∈  W bzgl. ℬ ist, d. h.

w = α₁w₁ + … + α_mw_m.

Kurz: Die Spalten von A^{𝒜, ℬ}_f sind die Koordinaten (bzgl. ℬ) der Bilder der Vektoren von 𝒜.

Wir schreiben oft „A_f bzgl. 𝒜“ statt „A_f bzgl. 𝒜, 𝒜“ sowie A^𝒜_f statt A^{𝒜, 𝒜}_f.

Im Fall W = K^m kann man Φ_ℬ(y) berechnen, indem man die Vektoren w₁, …, w_m der Basis ℬ als Spalten in eine Matrix S⁻¹ schreibt und die zu S^{− 1} inverse Matrix S bestimmt (vgl. 5. 5). Dann gilt Φ_ℬ(y) = Sy für alle y  ∈  K^m, sodass

A^{𝒜, ℬ}_f = $( \begin{matrix} S f (v_{1}) & … & S f (v_{n}) \end{matrix} )$ = S $( \begin{matrix} f (v_{1}) & … & f (v_{n}) \end{matrix} )$ .

Darstellende Matrizen im Fall V = Kⁿ und W = K^m

Für f : Kⁿ → K^m linear und die Standardbasen 𝒜, ℬ gilt A^{𝒜, ℬ}_f = $( \begin{matrix} f (e_{1}) & … & f (e_{n}) \end{matrix} )$ .

Für f = f_A : Kⁿ → K^m, T⁻¹ = $( \begin{matrix} v_{1} & … & v_{n} \end{matrix} )$ , S⁻¹ = $( \begin{matrix} w_{1} & … & w_{m} \end{matrix} )$ gilt

A^{𝒜, ℬ}_f = S $( \begin{matrix} f (v_{1}) & … & f (v_{n}) \end{matrix} )$ = S $( \begin{matrix} {Av}_{1} & … & {Av}_{n} \end{matrix} )$ = S A T⁻¹.

Die Matrizen A und A^{𝒜, ℬ}_f sind also äquivalent.

Für f = f_A : Kⁿ → Kⁿ, S⁻¹ = $( \begin{matrix} v_{1} & … & v_{n} \end{matrix} )$ gilt

A^𝒜_f = S A S⁻¹.

Die Matrizen A und A^𝒜_f sind also ähnlich.