6. Matrizengruppen

 Die allgemeinen linearen Gruppen lassen sich in vielerlei Weise charakterisieren. Für einen Körper K und n ≥ 1 gilt beispielsweise

GL(n, K)  =  { A  ∈  Kn × n | A ist invertierbar }  =  { A  ∈  Kn × n | rang(A) = n }  = 
{ A  ∈  Kn × n | die Zeilen (Spalten) von A bilden eine Basis von Kn }  = 
{ A  ∈  Kn × n | fA : Kn → Kn ist bijektiv }  =  { A  ∈  Kn × n | det(A) ≠ 0 }  = 
{ A  ∈  Kn × n | für alle b  ∈  Kn ist Ax = b eindeutig lösbar }.

 In der linearen Algebra spielen Untergruppen von GL(n, K) eine wichtige Rolle. Wir betrachten einige von ihnen für K = ℝ und ein beliebiges n ≥ 1.

Diagonalmatrizen

Die invertierbaren Diagonalmatrizen

Diag(n)  =  { diag(a1, …, an)  ∈  ℝn × n | a1, …, an  ∈  ℝ* }

bilden eine abelsche Untergruppe von GL(n, ℝ).

Dreiecksmatrizen

Die invertierbaren unteren Dreiecksmatrizen

Δu(n, ℝ)  =  { A  ∈  ℝn × n | aij = 0 für alle i < j, aii ≠ 0 für alle i }

sind eine Untergruppe von GL(n, ℝ). Eine Untergruppe von Δu(n, ℝ) ist

{ A  ∈  Δu(n, ℝ) | aii = 1 für alle i }  =  { A  ∈  Δu(n, ℝ) | A ist unipotent },

wobei ein A  ∈  ℝn × n unipotent heißt, falls (A − En)n = 0. Die Additionstypen Wij(λ), die bei der Gauß-Elimination verwendet werden, sind beispielsweise unipotent. Analoges gilt für die invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen Δo(n, ℝ).

Die orthogonale Gruppe

Die orthogonalen Matrizen

O(n)  =  { A  ∈  ℝn × n | A At = En = AtA }  =  { A  ∈  GL(n, ℝ) | A−1  =  At }

sind eine Untergruppe von GL(n, ℝ). Für alle A  ∈  O(n) gilt |det(A)| = 1.

Die spezielle lineare Gruppe

Die spezielle lineare Gruppe

SL(n, ℝ)  =  { A  ∈  ℝn × n | det(A) = 1 }

ist der Kern von det : GL(n, ℝ) → ℝ* und somit ein Normalteiler von GL(n, ℝ). Sie wird von den Additionstypen Wij(λ) erzeugt (vgl. 7. 8). Schließlich ist die spezielle orthogonale Gruppe definiert durch

SO(n)  =  O(n) ∩ SL(n, ℝ).