7. Matrixzerlegungen
Wir diskutieren einige wichtige Zerlegungen A = B C einer Matrix A ∈ GL(n, ℂ). Mit den üblichen Änderungen (transponiert/adjungiert, symmetrisch/hermitesch, orthogonal/unitär) ergeben sich analoge Zerlegungen für reelle invertierbare Matrizen.
LR-Zerlegung und Cholesky-Zerlegung
Das Gauß-Eliminationsverfahren liefert eine Zerlegung
AP = LR
mit einer Permutationsmatrix P, unteren Dreiecksmatix L und oberen Dreiecksmatrix R (vgl. 5. 12 und Überblick 5). Ist A hermitesch und positiv definit, so kann P = En gewählt werden und die LR-Zerlegung vereinfacht sich dann zur Cholesky-Zerlegung A = LL* (vgl. 7. 11).
Die QR-Zerlegung
Das Verfahren von Gram-Schmidt (vgl. 6. 7) liefert für eine Basis (a1, …, an) des ℂn eine Orthonormalbasis (q1, …, qn) bzgl. des kanonischen Skalarprodukts mit
(+) span(a1, …, ak) = span(q1, …, qk) für alle k ≤ n.
Sind a1, …, an die Spalten von A, so erhalten wir die Zerlegung
A = QR
mit einer unitären Matrix Q und einer oberen Dreiecksmatrix R. Dabei hat Q die Spalten q1, …, qn. Dass R = Q*A eine obere Dreiecksmatrix ist, folgt aus (+).
Die Polarzerlegungen
Ist SAT−1 = SAT* = diag(σ1, …, σn) = D die Singulärwertzerlegung von A (vgl. 8. 8) mit S,T ∈ U(n) und positiven Singulärwerten σk, so gilt
(a) | A = S*DT, |
(b) | Q = S*T ist unitär, |
(c) | P1 = S*DS und P2 = TDT* sind hermitesch und positiv definit. |
Damit ergeben sich die linke bzw. rechte Polarzerlegung von A:
A = (S*DS)(S*T) = P1Q, A = (S*T)(T*DT) = QP2.
Die Determinante von A berechnet sich zu det(A) = (σ1 … σn) det(Q), was wir wegen σ1, …, σn > 0 und |det(Q)| = 1 als Verallgemeinerung der Polardarstellung der komplexen Zahl det(A) lesen können.