8. Die Sesquilinearformen 〈 ·, A · 〉 und positive Definitheit

 Mit den kanonischen Skalarprodukten gilt:

〈 x, Ay 〉  =  ∑1 ≤ i, j ≤ n xi aij yj für alle x, y  ∈  ℝn und A  ∈  ℝn × n,
〈 z, Aw 〉  =  ∑1 ≤ i, j ≤ n zi aij wj für alle z, w  ∈  ℂn und A  ∈  ℂn × n.

 Oft gebraucht wird:

Seitenwechsel

〈 x, Ay 〉  =  xt (A y)  =  (xt A) y  =  (At x)t y  =  〈 Atx, y 〉  für A  ∈  ℝn × n

〈 z, Aw 〉  =  z* (A w)  =  (z* A) w  =  (A*z)* w  =  〈 A*z, w 〉  für A  ∈  ℂn × n

〈 x, Ay 〉  =  〈 Ax, y 〉  für A  ∈  ℝn × n symmetrisch (A = At)

〈 z, Aw 〉  =  〈 Az, w 〉  für A  ∈  ℂn × n hermitesch (A = A*)

 Eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix A ist positiv definit, wenn die Sesquilinearform 〈 ·, A· 〉 : Kn × Kn → K dies ist, d. h. wenn 〈 x, Ax 〉 > 0 für alle x ≠ 0 (vgl. 6. 12, 7. 11). Der Seitenwechsel liefert:

Positive Definitheit kongruenter Matrizen

Ist A  ∈  ℝn × n symmetrisch und S  ∈  GL(n, K), so gilt

〈 x, StASx 〉  =  〈 Sx, A(Sx) 〉  für alle x  ∈  ℝn.

Mit A ist also auch StAS positiv definit (da y = Sx mit x alle Vektoren des ℝn − { 0 } durchläuft). Analog ist für eine positiv definite Matrix A  ∈  ℂn × n und S  ∈  GL(n, ℂ) auch S*AS positiv definit. Kurz:

Positive Definitheit vererbt sich auf kongruente Matrizen.

Eigenwertkriterium der Definitheit

Eine symmetrische oder hermitesche Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte λ1, …, λn von A positiv sind. Denn nach dem Spektralsatz ist A kongruent zur Diagonalmatrix diag(λ1, …, λn). (Dies kann man auch direkt mit Hilfe einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A einsehen, vgl. 8. 7.)

Positive Definitheit von AtA bzw. A*A

Für alle A  ∈  GL(n, ℝ) ist AtA positiv definit, da 〈 x, AtAx 〉 = 〈 Ax, Ax 〉 > 0 für alle x ≠ 0. Analog ist A*A positiv definit für alle A  ∈  GL(n, ℂ).