1.8 Operationen und Abgeschlossenheit

Definition (Operation, abgeschlossen unter)

Operationen oder Verknüpfungen

Gilt f : An → A für ein n  ∈  ℕ, so heißt f eine (n-stellige) Operation oder Verknüpfung auf A. Wir schreiben

f(a1, …, an)  statt  f((a1, …, an))  für alle a1, …, an  ∈  A.

Ist n = 2 und f ein Zeichen wie +, ·, ∘, …, so schreiben wir auch

a  +  b,  a  ·  b,  a  ∘  b, …  statt  +(a, b),  ·(a, b),  ∘(a, b),  …  für alle a, b  ∈  A.

Abgeschlossenheit einer Menge unter einer Operation

Ist f : An → A eine Operation und B ⊆ A, so heißt B abgeschlossen unter f, falls

f(a1, …, an)  ∈  B  für alle a1, …, an  ∈  B. (Abgeschlossenheitsbedingung)

Abschluss einer Menge unter einer Operation

Ist f : An → A und B ⊆ A, so setzen wir:

〈 B 〉  =  〈 B 〉f  =  „die ⊆-kleinste unter f abgeschlossene Obermenge von B“.

Die Menge 〈 B 〉 heißt der Abschluss von B unter f oder die von f und B erzeugte Teilmenge von A. Ist B = { b1, …, bm }, so schreiben wir 〈 b1, …, bm 〉 für 〈 B 〉.

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Bei einer zweistelligen Operation ∘ : A2 → A werden je zwei Elemente a und b von A auf ein Element a ∘ b von A abgebildet; a und b müssen dabei nicht verschieden sein und es kann a ∘ b ≠ b ∘ a gelten. Eine Teilmenge B von A ist abgeschlossen unter der Operation, wenn die Anwendung der Operation nicht aus B herausführt, d. h., für alle a, b  ∈  B ist a ∘ b wieder ein Element von B.

 Eine Funktion der Form f : An → B heißt eine n-stellige Funktion auf A und man schreibt f(a1, …, an) statt f((a1, …, an)), um die Lesbarkeit zu vereinfachen. Operationen sind n-stellige Funktionen auf A, die Werte in A annehmen. Jedem n-Tupel (a1, …, an) mit Einträgen in A wird ein a = f(a1, …, an)  ∈  A zugeordnet.

 In der Algebra spielen vor allem zweistellige Operationen eine wichtige Rolle. Der Leser denke an die Addition und Multiplikation auf den Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ. Es gilt zum Beispiel + : ℕ2 → ℕ und · : ℝ2 → ℝ. Die „innere Notation“ n + m bzw. x · y liefert die vertrauten Ausdrücke: n + (m + k) ist viel besser lesbar als +(n, +(m, k)).

 Auch einstellige Operationen sind von Interesse. Hier gilt einfach f : A → A. Ein Beispiel ist die Nachfolgerfunktion S : ℕ → ℕ mit S(n) = n + 1 für alle n.

Abgeschlossenheit einer Menge B unter f

 Seien f : An → A und B ⊆ A. Die Abgeschlossenheit von B bedeutet, dass die Anwendung von f auf je n Elemente in B stets Werte in B liefert: „f führt nicht aus B heraus.“ Gleichwertig ist, dass die Einschränkung von f auf Bn eine Operation auf B ist:

f|Bn  :  Bn  →  B. (Abgeschlossenheitsbedingung, Umformulierung)

Beispiele

(1)

Die Menge G der geraden Zahlen ist abgeschlossen unter der Addition + auf ℕ, da n + m  ∈  G für alle n, m  ∈  G. Dagegen ist U = ℕ − G nicht abgeschlossen unter +, da 1, 3  ∈  U, aber 1 + 3  ∉  U.

(2)

ℝ+ = { x  ∈  ℝ | x > 0 } und ℝ+0 = ℝ+ ∪ { 0 } sind abgeschlossen unter der reellen Multiplikation, da das Produkt zweier positiver (nichtnegativer) Zahlen positiv (nichtnegativ) ist. Ebenso ist das Intervall [ 0, 1 ] abgeschlossen unter ·. Dagegen sind { x  ∈  ℝ | x ≤ 0 } und [ 0, 2 ] nicht abgeschlossen unter ·.

(3)

Für jede Operation f : An → A sind A und ∅ abgeschlossen unter f.

Abschluss einer Menge B unter f

 Für jedes B ⊆ A existiert eine bzgl. der Inklusion ⊆ kleinste unter f abgeschlossene Obermenge 〈 B 〉 = 〈 B 〉f. Sie lässt sich auf zwei äquivalente Arten konstruieren:

Konstruktion „von oben“:  Schnittbildung

Es gilt 〈 B 〉 = ⋂ { C | C ⊇ B und C ist abgeschlossen unter f }.

Konstruktion „von unten“:  wiederholte Anwendung von f

Wir setzen B0 = B und Bk + 1 = Bk ∪ f[ Bkn ] für alle k  ∈  ℕ. Dann gilt

〈 B 〉  =  ⋃k  ∈  ℕ Bk.

Beispiele

(1)

Sei S : ℕ → ℕ die Nachfolgerbildung, und sei B = { 4, 9 }. Dann gilt

B0  =  { 4, 9 },  B1  =  B0 ∪ { 5, 10 },  B2  =  B1 ∪ { 6, 11 },  …

Damit ist 〈 4, 9 〉  =  { n  ∈  ℕ | n ≥ 4 }.

(2)

Sei + : ℕ2 → ℕ die Addition, und sei B = { 4, 9 }. Dann gilt

(#)  〈  4, 9  〉  =  { n 4 + m 9 | n, m ≥ 1 }.

Denn die Menge M rechts ist abgeschlossen unter +, sodass 〈  4, 9  〉 ⊆ M.

Ist C eine unter + abgeschlossene Obermenge von { 4, 9 }, so sind n 4, m 9 und n 4 + m 9 Elemente von C für alle n, m ≥ 1. Also gilt M ⊆ C für alle unter + abgeschlossenen C ⊇ { 4, 9 }, sodass M ⊆ 〈  4, 9  〉.