1.9 Abbildungseigenschaften
Definition (injektiv, surjektiv, bijektiv, Umkehrfunktion)
Abbildungseigenschaften
Eine Funktion f heißt
| injektiv, | falls f (a) ≠ f (b) für alle a ≠ b in Def (f), (Linkseindeutigkeit) |
| surjektiv nach B, | falls Bild(f) = B, |
| bijektiv nach B, | falls f ist injektiv und surjektiv nach B. |
Umkehrfunktion
Ist f injektiv, so heißt f −1 = { (b, a) | (a, b) ∈ f } die Umkehrfunktion von f.
Die Injektivität ist genau dann verletzt, wenn zwei verschiedene Stellen auf denselben Wert abgebildet werden.
Ist f injektiv, so entsteht die Umkehrfunktion f −1
anschaulich durch Vertauschen der Spalten.
Die Injektivität von f bedeutet in der Tabelleninterpretation, dass auch in der rechten Spalte kein y mehrfach vorkommt. Sie ist eine Eigenschaft der Funktion f und benötigt im Gegensatz zur Surjektivität und Bijektivität keine Nennung einer Menge B.
Für eine Funktion f : A → B bedeutet … | |
injektiv | kein Wert (in B) wird mehrfach angenommen |
surjektiv | jeder Wert in B wird mindestens einmal angenommen |
bijektiv | jeder Wert in B wird genau einmal angenommen |
Ist f : A → B bijektiv, so stellt f eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen der Mengen A und B her. Jedem Element von A entspricht durch den Vermittler oder Paarbilder f genau ein Element von B und umgekehrt. Damit sind die Mengen A und B anschaulich gleich groß. Diese Anschauung werden wir im nächsten Abschnitt präzisieren.
Ist f : A → B, so ist f : A → Bild(f) surjektiv.
Ist f : A → B injektiv, so ist f : A → Bild(f) bijektiv.
Sind f : A → B und g : B → C injektiv (surjektiv, bijektiv), so auch g ∘ f : A → C.
Beispiele
(1) | Für jede Menge A ist idA : A → A bijektiv. |
(2) | Seien G = { 2n | n ∈ ℕ } und U = ℕ − G. Dann sind bijektiv: f : ℕ → G mit f (n) = 2n, g : ℕ → U mit g(n) = 2n + 1, h : G → U mit h(n) = n + 1, k : U → G mit k(n) = n − 1. |
(3) | cos : ℝ → [ −1, 1 ] ist surjektiv, aber nicht injektiv, cos|[ 0, π ] : [ 0, π ] → ℝ ist injektiv, aber nicht surjektiv, cos|[ 0, π ] : [ 0, π ] → [ −1, 1 ] ist bijektiv. |
Umkehrfunktionen
Die Bildung der Umkehrfunktion bedeutet in der
Tabelleninterpretation: Vertauschung der Spalten
Zuordnungsinterpretation: Ändern der Abbildungsrichtung
kartesischen Interpretation: Spiegelung an der Winkelhalbierenden
Pfeilinterpretation: Umkehrung aller Pfeile des Feldes
Dienstboten-Interpretation: Bote soll a, gegeben f (a), wieder zurückbringen.
Damit durch den Spaltentausch eine Funktion entsteht, ist es notwendig (und hinreichend), dass in der ursprünglichen rechten Spalte kein y mehrfach vorkommt.
Wichtige Eigenschaften sind:
Ist f : A → B injektiv, so ist f −1 : Bild(f) → A bijektiv.
Ist f : A → B bijektiv, so ist auch f −1 : B → A bijektiv.
f −1 ∘ f = idA, f ∘ f −1 = idB, wobei A = Def (f), B = Bild(f).
Beispiele
(1) | Sei f : ℝ* → ℝ mit f (x) = 1/x für alle x ∈ ℝ*. Dann ist f injektiv. Für alle x, y ∈ ℝ* gilt y = 1/x genau dann, wenn x = 1/y. Damit ist f −1 = f, was man kartesisch durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden schön einsehen kann. |
(2) | Die Kosinusfunktion muss man vor einer Umkehrung geeignet einschränken. Mit der injektiven Funktion cos0 = cos|[ 0, π ] kann man den Arkuskosinus arccos : [ −1, 1 ] → ℝ durch arccos = cos0−1 definieren. Es gilt cos(arccos(x)) = x für alle x ∈ [ −1, 1 ], aber arccos(cos(x)) ≠ x für x ∉ [ 0, π ]. |