2.12 Division und Nullstellen von Polynomen
Satz (Polynomdivision, Abspalten einer Nullstelle, Anzahl der Nullstellen)
Sei R ein kommutativer Ring, und sei R[ X ] = R(ℕ) der Polynomring über R.
Polynomdivision
Seien a, b ∈ R[ X ]. Der Leitkoeffizient von b sei eine Einheit in R. Dann gibt es eindeutig bestimmte q, r ∈ R[ X ] mit
a = q b + r, deg(r) < deg(b). (Polynomdivision mit Rest)
Abspalten von Nullstellen
Ist p ∈ R[ X ] und w ∈ R eine Nullstelle von p, so gibt es genau ein q ∈ R[ X ] mit
p = (X − w)q. (Abspaltung einer Nullstelle)
Allgemeiner gibt es ein k-Tupel (w1, …, wk) ∈ Rk, k ≤ deg(p), mit
p = (X − w1)(X − w2) … (X − wk) q, (vollständige Nullstellenabspaltung)
sodass q ein nullstellenfreies Polynom vom Grad n − k ist. Ist k = n, so gilt
p = pn (X − w1)(X − w2) … (X − wn). (Zerlegung in Linearfaktoren)
Zur Division von a = a0 durch b finden wir Polynome qi ∈ R[ X ] mit
a0 = q1 b + a1, deg(a0) > deg(a1),
a1 = q2 b + a2, deg(a1) > deg(a2),
…
am − 1 = qm b + am,
deg(am − 1) ≥ deg(b) > deg(am).
Dann gilt wie gewünscht
a0 = q1 b + a1 = (q1 + q2) b + a2 =
… = (q1 + … + qm) b + am.
Die Polynome qi, ai sind definiert durch
qi = Leitkoeffizient(ai − 1)Leitkoeffizient(b) Xdeg(ai − 1) − deg(b),
ai = ai − 1 − qi b für alle 1 ≤ i ≤ n.
Zur Eindeutigkeit: Ist a = q b + r mit deg(r) < deg(b), so gilt (q − q) b = r − r und damit grad(q − q) + grad(b) = grad(r − r) < grad(b). Also ist grad(q − q) = −∞, sodass q = q, r = r.
Zur Abspaltung von Nullstellen: Ist w eine Nullstelle von p, so gilt p = q (X − w) + r mit deg(r) < deg(X − w) = 1, sodass r = a für ein a ∈ R. Wegen
0 = fp(w) = fq(w) (w − w) + fr(w) = 0 + a = a
gilt r = 0. Dies zeigt, dass sich eine Nullstelle abspalten lässt. Wiederholtes Abspalten von Nullstellen liefert die restlichen Aussagen.
Beispiele
(1) | Das Polynom X2 − 2 ∈ ℚ[ X ] hat aufgrund der Irrationalität von keine Nullstelle. Als Polynom in ℝ[ X ] hat X2 − 2 die Nullstellen und −, sodass X2 − 2 = (X − )(X + ). |
(2) | Das Polynom X2 + 1 ∈ ℝ[ X ] hat keine Nullstelle. Als Polynom in ℂ[ X ] hat X2 + 1 die Nullstellen i und −i, sodass X2 + 1 = (X − i)(X + i). |
(3) | Ist p ∈ ℝ[ X ] ein Polynom ungeraden Grades, so hat p eine Nullstelle. Denn aufgrund der ungeraden höchsten Potenz gibt es a, b ∈ ℝ, sodass fp(a) > 0 und fp(b) < 0. Nach dem Zwischenwertsatz der Analysis hat also fp eine Nullstelle. |
In der vollständigen Nullstellenabspaltung müssen die w1, …, wk nicht paarweise verschieden sein. Für eine Nullstelle w von p gibt die algebraische Vielfachheit
μp(w) = max({ m ≥ 1 | es gibt ein q ∈ R[ X ] mit p = (X − w)m q })
an, wie oft der Faktor (X − w) in der vollständigen Nullstellenabspaltung erscheint.
Es gilt der für Algebra und Analysis gleichermaßen unentbehrliche
Satz (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes Polynom p ∈ ℂ[ X ] zerfällt in Linearfaktoren.
Zerfällt für einen Körper K jedes Polynom p ∈ K[ X ] in Linearfaktoren, so heißt K algebraisch abgeschlossen. Im Gegensatz zu ℂ sind ℚ und ℝ nicht algebraisch abgeschlossen. Der Körper 𝔸 der algebraischen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen. Denn man kann zeigen, dass jedes Polynom p ∈ 𝔸[ X ] nur algebraische Nullstellen besitzt.
Der Fundamentalsatz liefert auch eine wertvolle Erkenntnis für reelle Polynome. Ist nämlich p ∈ ℂ[ X ] ein Polynom mit Koeffizienten in ℝ ⊆ ℂ, so ist mit w auch die Konjugierte w = Re(w) − i Im(w) von w eine Nullstelle von p. Nun hat
(X − w)(X − w) = X2 − (w + w)X + ww = X2 − 2 Re(w) X + |w|2
reelle Koeffizienten. Durch eine derartige Zusammenfassung von Paaren erhält man:
Satz (Zerlegung eines reellen Polynoms)
Jedes Polynom p ∈ ℝ[ X ] vom Grad n ≥ 0 lässt sich in der Form
p = an (X − w1) … (X − wk) q1 … q(n − k)/2
schreiben, mit nullstellenfreien Polynomen qj zweiten Grades der Form
qj = X2 − 2 bj X + cj, cj > 0.