2.3 Gruppen
Definition (Gruppe, inverse Elemente)
Ein Monoid (G, ∘) heißt eine Gruppe, falls für das neutrale Element e von G gilt:
Für alle a ∈ G existiert ein b ∈ G mit a ∘ b = b ∘ a = e. (Existenz inverser Elemente)
Gilt a ∘ b = b ∘ a = e, so heißt b invers zu a.
∘ | e | a | b | c | … |
e | e | a | b | c | … |
a | a | e | … | ||
b | b | e | … | ||
c | c | e | … | ||
… | … | … | … | … | … |
Nach Definition einer Gruppe taucht in jeder Zeile und jeder Spalte mindestens einmal das neutrale Element e des Monoids in spiegelsymmetrischer Weise auf. Stärker gilt, dass e jeweils genau einmal auftaucht und dass auf die Forderung des spiegelsymmetrischen Auftretens verzichtet werden kann (vgl. den vereinfachten Nachweis der Gruppenaxiome unten).
Gruppen sind also Monoide, die ein weiteres Axiom erfüllen: Jede Zeile und Spalte der Operationstafel enthält spiegelsymmetrisch einen Eintrag e. Wie für das neutrale Element eines Monoids gilt:
Eindeutigkeit des Inversen
Sind b und b′ invers zu a in der Gruppe G, so gilt b = b′.
Denn sind b und b′ invers zu a, so ist
b = e ∘ b = b′ ∘ a ∘ b = b′ ∘ e = b′.
Damit können wir definieren:
Die Inversennotation a−1
In einer Gruppe bezeichnen wir das eindeutig bestimmte Inverse von a mit a−1.
Um b = a−1 für Elemente a, b einer Gruppe zu zeigen, genügt der Nachweis von a ∘ b = e.
Denn dann ist b = e ∘ b = a−1 ∘ a ∘ b = a−1 ∘ e = a−1. Ebenso folgt aus b ∘ a = e, dass b = a−1.
In Gruppen können wir die Potenzierung erneut erweitern:
Negative Exponenten
Ist G eine Gruppe, so setzen wir a−n = (a−1)n für alle a ∈ G und n ∈ ℕ.
Die Potenzregeln aus 2. 1 und 2. 2 gelten nun für alle ganzen Zahlen n, m. Allgemeinere Exponentiationen aq mit q ∈ ℚ oder ax mit x ∈ ℝ sind nur unter zusätzlichen Voraussetzungen möglich und fallen in das Aufgabengebiet der Analysis.
Beispiele
(1) | Jede Menge G = { a } mit a ∘ a = a ist eine Gruppe. Es gilt a = a−1 = e. |
(2) | ℤ, ℚ, ℝ, ℂ sind mit der Addition Gruppen. Ebenso sind ℚ*, ℝ*, ℂ* Gruppen unter der Multiplikation, wobei der Stern die Entfernung der Null bedeutet. |
(3) | Ist (G, ∘) eine Gruppe, so auch (G, ∗), wobei a ∗ b = b ∘ a für alle a, b ∈ G. |
(4) | Für alle n ≥ 1 bildet ℝn mit der komponenten- oder punktweisen Addition (x1, …, xn) + (y1, …, yn) = (x1 + y1, …, xn + yn) eine Gruppe. Das Element (0, …, 0) ist neutral und (−x1, …, −xn) ist invers zu (x1, …, xn). |
(5) | Für alle m ≥ 1 bildet ℤm = ℤ/≡ m unter der Addition [ a ] + [ b ] = [ a + b ] von Restklassen eine Gruppe. ℤ*m = ℤm − { 0 } bildet unter der Multiplikation [ a ] · [ b ] = [ ab ] genau dann eine Gruppe, wenn m eine Primzahl ist. |
(6) | Sind G1 und G2 Gruppen, so ist auch das Produkt G = G1 × G2 eine Gruppe. Für alle (a, b) ∈ G gilt (a, b)−1 = (a−1, b−1). |
Eine eigene Definition verdient die Erweiterung des Permutationsbegriffs aus 1.5:
Definition (symmetrische Gruppe, Permutationen, SA, Sn)
Seien A eine Menge und SA = { f | f : A → A ist bijektiv }. Dann heißt (SA, ∘) die symmetrische Gruppe oder Permutationsgruppe von A. Jedes Element von SA heißt eine Permutation auf A. Weiter schreiben wir Sn statt S{ 1, …, n }.
Das neutrale Element von SA ist idA. Für alle f ∈ SA ist die Umkehrfunktion f −1 invers zu f, sodass die Lesarten von f −1 als Umkehrfunktion oder Inverses übereinstimmen.
Jedes Monoid (M, ∘) gibt Anlass zur Definition einer Gruppe: Wir nennen ein a ∈ M invertierbar, falls es ein b ∈ M gibt mit a ∘ b = b ∘ a = e. Dann ist
M× = { a ∈ M | es gibt ein b ∈ M mit a ∘ b = b ∘ a = e } (Gruppe der invertierbaren Elemente)
mit der von G ererbten Operation eine Gruppe.
Beispiel
Sei A eine Menge. Dann gilt für das Monoid M = { f | f : A → A } unter Komposition:
{ f ∈ M | es gibt ein g ∈ M mit g ∘ f = id } = { f ∈ M | f ist injektiv },
{ f ∈ M | es gibt ein g ∈ M mit f ∘ g = id } = { f ∈ M | f ist surjektiv },
M× = { f ∈ M | f ist invertierbar } = { f ∈ M | f ist bijektiv } = SA.
In diesem Zusammenhang ist überraschend:
Vereinfachter Nachweis der Gruppenaxiome
Eine Halbgruppe G ist eine Gruppe, falls gilt:
(G1) Es gibt ein e ∈ G, sodass a ∘ e = a für alle a ∈ G.
(G2) Ist e wie in (G1), so gilt: Für alle a ∈ G gibt es ein b ∈ G mit a ∘ b = e.
Sei nämlich e wie in (G1). Ist nun a ∈ G beliebig, so gibt es nach (G2) ein b mit a ∘ b = e und ein c mit b ∘ c = e. Dann gilt b ∘ a = b ∘ a ∘ e = b ∘ a ∘ b ∘ c = b ∘ e ∘ c = b ∘ c = e, und damit e ∘ a = a ∘ b ∘ a = a ∘ e = a. Dies zeigt, dass G eine Gruppe ist.