2.9 Körper

Definition (Divisionsbereich, Schiefkörper, Körper)

Ein Ring (K, +, ·) heißt ein Divisionsbereich oder Schiefkörper, falls für K* = K − { 0 } gilt:

(K*, ·) ist eine Gruppe (wobei (K*, ·) wieder kurz für (K*, ·|K*²) steht).

Ist der Ring zudem kommutativ, so heißt (K, +, ·) ein Körper.

ℤ₁₇ mit

[ a ] + [ b ] = [ a + b ],

[ a ] · [ b ] = [ ab ]

ist ein Körper. Es gilt zum Beispiel

[ 5 ] · [ 7 ] + [ 16 ] = [ 35 ] + [ 16 ] = [ 1 ] + [ 16 ] = [ 17 ] = [ 0 ] = 0.

Ein Körper ist also ein kommutativer nichttrivialer Ring, in dem alle von Null verschiedenen Elemente Einheiten sind, d. h., es gilt K^× = K* = K − { 0 }.

Die Sonderbehandlung der 0 ist unvermeidlich: Würde ein multiplikatives Inverses 0⁻¹ der 0 existieren, so würde gelten:

0 = 0 · 0⁻¹ = 1.

Beim ersten „=“ verwenden wir die in allen Ringen gültige Regel 0a = 0 und beim zweiten „=“ die Definition des multiplikativen Inversen. Damit kann die Null nur im Nullring { 0 } invertierbar sein!

Wir fassen den Körperbegriff noch einmal zusammen. (K, +) erfüllt vier Axiome: Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements, Existenz von Inversen, Kommutativität. Gleiches gilt für (K*, ·). Zudem gelten zwei Distributivgesetze. Damit ergeben sich insgesamt zehn Körperaxiome. Automatisch gilt:

Nullteilerfreiheit in Körpern

Für alle a, b  ∈  K gilt:

ab = 0 impliziert a = 0 oder b = 0.

Ist nämlich ab = 0 und a ≠ 0, so existiert a⁻¹, sodass

b = a⁻¹ 0 = 0.

In einem Körper K stehen alle vier Grundrechenarten zur Verfügung: +, −, · : K² → K wie in jedem Ring, und zusätzlich auch eine Division / : K × K* → K vermöge

a/b = a b⁻¹ für alle a, b  ∈  K mit b ≠ 0.

Die Bruchnotation a/b ist aufgrund der Kommutativität möglich, da a · 1/b = 1/b · a (vgl. auch 2. 5). Es gelten die vertrauten Rechengesetze:

Rechenregeln in Körpern (Bruchrechnen)

Für alle a, c  ∈  K und b, d  ∈  K* gilt:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}; \frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}; \frac{a / b}{c / d} = \frac{ad}{bc}, falls c \neq 0.$

Beispiele

(1)	ℚ, ℝ, ℂ sind mit den üblichen Operationen Körper. Für alle p ≥ 1 ist der Restklassenring ℤ_p genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist; der Körper ℤ_p heißt dann der Restklassenkörper modulo p.

(2)	Seien K = { 0, 1 }, + wie in ℤ₂ und · definiert durch a · b = a für alle a, b  ∈  K. Dann sind (K, +), (K, ·) mit K = K − { 0 } = { 1 } abelsche Gruppen, aber es gilt nur ein Distributivgesetz. Damit ist (K, +, ·) kein Ring und insbesondere kein Körper.

(3)	Auf dem ℝ⁴ kann eine nichtkommutative Multiplikation · erklärt werden, sodass die sog. hamiltonschen Quaternionen ℍ = (ℝ⁴, +, ·) einen Schiefkörper bilden.

Der Satz von Wedderburn besagt, dass jeder endliche Schiefkörper bereits ein Körper ist. Damit fallen Schiefkörper und Körper im Endlichen zusammen.

Die Charakteristik eines Körpers

Grob gesprochen ist eine Struktur (K, +, ·) ein Körper, wenn die „üblichen Rechenregeln“ gelten. Dabei ist aber Vorsicht geboten. Denn in ℤ_p mit einer Primzahl p gilt

1 + … + 1 (p-oft) = [ 1 ] + … + [ 1 ] (p-oft) = [ p ] = 0.

Damit schließen die Körperaxiome nicht aus, dass wir durch Aufsummieren der Eins die Null erhalten! Dies motiviert:

Definition (Charakteristik eines Körpers)

Sei K ein Körper. Gibt es ein m ≥ 1 mit m1 = ∑_{1 ≤ k ≤ m} 1 = 0, so setzen wir

char(K) = „das kleinste m ≥ 1 mit m1 = 0“. (Charakteristik von K)

Andernfalls setzen wir char(K) = 0.

Ist char(K) ≠ 0, so ist char(K) ≥ 2, da 0 ≠ 1 gilt. Ist nun char(K) = nm mit n, m > 1, so ist (n m) 1 = (n 1) (m 1) = 0, also n1 = 0 oder m1 = 0, da K nullteilerfrei ist. Nach Minimalität ist dann also n = 1 oder m = 1. Damit ist char(K) eine Primzahl. Die Restklassenkörper ℤ_p zeigen, dass jede Primzahl als Charakteristik vorkommt. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers muss dagegen keine Primzahl sein. Es gilt:

Klassifikation endlicher Körper

Die Mächtigkeiten endlicher Körper sind genau die Zahlen pⁿ mit p prim und n ≥ 1.