3.10 Summen von Vektorräumen

Definition (äußere und innere Summen)

Äußere Summe

Sei (Vi)i  ∈  I eine Familie von Vektorräumen. Dann definieren wir die äußere Summe W der Vektorräume Vi durch

W  =  { f  ∈  ∏i  ∈  I Vi | supp(f) ist endlich },  wobei

supp(f)  =  { i  ∈  I | f (i)  ≠  0 }

der Träger von f ist. In Zeichen schreiben wir

W  =  ⨁i  ∈  I Vi.

Innere Summe

Sei V ein Vektorraum, und seien W1, …, Wn Unterräume von V. Dann setzen wir

W1  +  …  +  Wn  =  { w1  +  …  +  wn |  wi  ∈  Wi für alle i  ∈  I }.

Allgemeiner definieren wir für eine Familie (Wi)i  ∈  I von Unterräumen von V:

∑i  ∈  I Wi  =  { ∑j  ∈  J wj | J ⊆ I ist endlich, wj  ∈  Wj für alle j  ∈  J }.

Die Unterräume W1 + … + Wn bzw. ∑i  ∈  I Wi von V nennen wir die innere Summe der Unterräume Wi.

Eine innere Summe heißt direkt, falls jeder Vektor w1 + … + wn bzw. ∑j  ∈  J wj der Definition der Summe nur dann gleich 0 ist, wenn alle Summanden wj null sind. Wir schreiben dann

W  =  W1 ⊕ … ⊕ Wn  bzw. 

W  =  ⨁i  ∈  I Wi.

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Die Summe

ℝ2 = W1 + W2 + W3

ist nicht direkt.

 Die Summen lassen sich mit bekannten Konstruktionen erläutern:

Äußere Summen

Sei W = ⨁i  ∈  I Vi eine äußere Summe. Ist I endlich, so ist W = ∏i  ∈  I Vi, d. h., die äußere Summe ist dann einfach das endliche Produkt der Vi. Ist I unendlich, so ist W ein Unterraum von ∏i  ∈  I Vi. Der Unterraum W besteht aus allen Vektoren des Produkts, die an höchstens endlich vielen Stellen von 0 verschieden sind. Damit sind die Vektorräume V(I) (vgl. 3. 3) spezielle äußere Summen:

V(I)  =  ⨁i  ∈  I V  =  { f  ∈  VI | supp(f) ist endlich }.

Insbesondere ist K[ X ] = K(ℕ) = ⨁n  ∈  ℕ K.

Innere Summen

Die innere Summe kann man auch über den Spann erklären, denn

W1  +  …  +  Wn  =  span(W1 ∪ … ∪ Wn),  ∑i  ∈  I Wi  =  span(⋃i  ∈  I Wi).

Die innere Summe der Unterräume Wi ist also der kleinste Unterraum von V, der alle Unterräume Wi umfasst.

Direkte innere Summen

Die Direktheit einer inneren Summe W = W1 + … + Wn lässt sich mit Hilfe des Begriffs der linearen Unabhängigkeit so formulieren:

Picken wir aus den Summanden Wi je einen von 0 verschiedenen Vektor wi heraus, so ist (w1, …, wn) stets linear unabhängig.

Analog bedeutet die Direktheit für eine allgemeine Summe W = ⨁i  ∈  I Wi:

Picken wir aus endlich vielen Summanden Wj, j  ∈  J, je einen von 0 verschiedenen Vektor wj heraus, so ist (wj)j  ∈  J stets linear unabhängig in W.

Verhältnis von äußeren und direkten inneren Summen

Ist W = W1 ⊕ … ⊕ Wn eine direkte innere Summe und W* = ⨁1 ≤ i ≤ n Wi die äußere Summe der Vektorräume Wi, so haben wir die natürliche Korrespondenz

(w1, …, wn)  ∈  W*  ≃  w1 + … + wn  ∈  W.

Aufgrund der Direktheit von W liefert diese Entsprechung eine Bijektion

φ : W* → W,  φ(w1, …, wn)  =  w1  +  …  +  wn  für alle (w1, …, wn)  ∈  W*.

(Genauer ist φ ein Vektorraum-Isomorphismus zwischen W und W* im Sinne von 4. 5.) Analoges gilt für allgemeine äußere und direkte innere Summen. Damit ist die doppelte Verwendung des Zeichens ⊕ in der Regel harmlos, wenn man die Unterschiede der beiden Konstruktionen vor Augen hat.

Beispiele

(1)

Sind W1 eine Gerade und W2 eine Ebene im ℝ3 durch den Nullpunkt mit W1 ∩ W2 = { 0 }, so gilt ℝ3 = W1 ⊕ W2. Ebenso ist ℝ3 = { 0 } ⊕ ℝ3.

(2)

Sind W1, W2, W3 ⊆ ℝ2 paarweise verschiedene Geraden durch den Nullpunkt, so gilt Wi ∩ Wj = { 0 } für alle i ≠ j. Aber die Summe W1 + W2 + W3 = ℝ2 ist nicht direkt.

(3)

Aus der Dimensionsformel in 3. 8 folgt, dass eine endliche innere Summe

W  =  W1  +  …  +  Wn

in einem Vektorraum der endlichen Dimension m genau dann direkt ist, wenn

dim(W1)  +  …  +  dim(Wn)  =  m.