3.2 Unterräume

Definition (Unterraum)

Sei V ein K-Vektorraum, und sei U ⊆ V. Dann heißt U ein Unterraum oder Untervektorraum von V, falls gilt:

(a)	U ist eine Untergruppe der abelschen Gruppe V.

(b)	U ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation, d. h., für alle α  ∈  K und u  ∈  U gilt αu  ∈  U.

Eine Ebene durch 0 ist ein Unterraum des ℝ³.

Die Polynome vom Grad kleinergleich 2 bilden einen Unterraum des ℝ[ X ]. Im Diagramm identifizieren wir sie mit Polynomfunktionen.

Unterräume verhalten sich zu Vektorräumen so wie Untergruppen zu Gruppen. Die Definition besagt:

U ist mit der von V ererbten Vektoraddition und Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum.

Die Gültigkeit der Axiome für die Skalarmultiplikation müssen wir nicht fordern. Sie überträgt sich von V auf jede Teilmenge U von V.

Wie für Untergruppen sehen wir je nach Kontext einen Unterraum als Teilmenge eines Vektorraumes oder als vollständigen Vektorraum an.

Das Analogon zum Untergruppenkriterium ist:

Unterraumkriterium

U ⊆ V ist genau dann ein Unterraum von V, falls gilt:

(U1) U ≠ ∅.

(U2) Für alle u, w  ∈  U gilt u + w  ∈  U.

(U3) Für alle α  ∈  K und u  ∈  U gilt αu  ∈  U.

Die Aussagen (U1) und (U2) gelten, falls U eine Untergruppe von V ist, und (U3) ist genau die Aussage (b) der Definition. Sind (U1) − (U3) erfüllt, so gilt für alle u, w  ∈  U, dass

u − w = u + (− w) = u + (−1) w  ∈  U,

sodass das Untergruppenkriterium anwendbar ist und Teil (a) der Definition liefert.

Beispiele

(1)	Für jeden Vektorraum V sind { 0 } und V Unterräume von V.

(2)

Sei V = ℝ³. Dann sind

U = { (x₁, 0, 0)  ∈  V | x₁  ∈  ℝ } und W = { (x₁, x₂, 0)  ∈  V | x₁, x₂  ∈  ℝ }

Unterräume von V. Allgemeiner bildet jede Gerade und jede Ebene in V durch den Nullpunkt einen Unterraum von V. Geraden und Ebenen, die nicht durch den Nullpunkt verlaufen, bilden dagegen keine Unterräume (vgl. auch 3. 12).

(3)	Allgemeiner als (2): Seien n ≥ 1 und I ⊆ { 1, …, n }. Dann ist U = { (x₁, …, x_n)  ∈  ℝⁿ \| x_i = 0 für alle i  ∈  I } ein Unterraum von ℝⁿ.

(4)

ℚ ist eine Untergruppe von (ℝ, +), aber kein Unterraum des ℝ-Vektorraumes ℝ. Die Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation ist verletzt: Ist α irrational, so ist α · 1 = α  ∉  ℚ. Dagegen ist ℚ ein Unterraum des ℚ-Vektorraumes ℝ, bei dem nur rationale Zahlen als Skalare für Vektoren (reelle Zahlen) auftauchen.

(5)	Für alle n ist U_n = { v  ∈  K[ X ] \| deg(v) ≤ n } ein Unterraum des K-Vektorraums K[ X ] aller Polynome über K.

(6)	Sind U und W Unterräume von V, so ist auch der Durchschnitt U ∩ W ein Unterraum von V. Allgemeiner gilt: Ist (U_i)_{i  ∈  I} eine Familie von Unterräumen von V, so ist auch U = ⋂_{i  ∈  I} U_i = { v  ∈  V \| v  ∈  U_i für alle i  ∈  I } ein Unterraum von V.

(7)

Sind U und W Unterräume von V, so ist U ∪ W im Allgemeinen nicht abgeschlossen unter der Vektoraddition und damit kein Unterraum von V. Sind zum Beispiel U und W zwei verschiedene Geraden der Ebene durch 0, so ist U ∪ W keine Untergruppe von (ℝ², +). Denn sind u  ∈  U und w  ∈  W beide ungleich dem Nullvektor, so ist u + w kein Element von U ∪ W.

(8)

Ist (U_i)_{i  ∈  I} eine Familie von Unterräumen von V und gilt die Vergleichbarkeit

U_i ⊆ U_j oder U_j ⊆ U_i für alle i, j  ∈  I,

so ist auch

⋃_{i  ∈  I} U_i = { v  ∈  V | es gibt ein i  ∈  I mit v  ∈  U_i }

ein Unterraum von V. Ist I endlich, so ist die Vereinigung einfach gleich dem größten Element der durch die U_i gebildeten ⊆-Kette. Es gibt aber auch Beispiele für unendliche Ketten, so etwa (U_n)_{n  ∈  ℕ} wie in Beispiel (5). Hier ist

⋃_{n  ∈  ℕ} U_n = K[ X ].