3.5 Lineare Unabhängigkeit
Definition (linear unabhängig, linear abhängig)
Sei V ein K-Vektorraum.
(a) | Ein Tupel (v1, …, vn) von Vektoren in V heißt linear unabhängig, falls für alle α1, …, αn ∈ K gilt: α1 v1 + … + αn vn = 0 impliziert α1 = … = αn = 0. (eindeutige Nulldarstellung, Nullbedingung) |
(b) | Eine Menge A ⊆ V heißt linear unabhängig, falls jedes Tupel von paarweise verschiedenen Vektoren in A linear unabhängig ist. Eine Familie (vi)i ∈ I in V heißt linear unabhängig, falls (vi1, …, vin) für alle paarweise verschiedenen i1, …, in ∈ I, n ≥ 1, linear unabhängig ist. |
Andernfalls heißt (v1, …, vn) bzw. A bzw. (vi)i ∈ I linear abhängig.
(v1, v2, v3) sind linear abhängig, da eine nichttriviale Darstellung der 0 existiert.
Ein Tupel (v1, …, vn) ist also linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dargestellt werden kann. Somit ist (v1, …, vn) linear abhängig, wenn es α1, …, αn ∈ K gibt mit
(a) | 0 = α1v1 + … + αnvn, |
(b) | αi ≠ 0 für mindestens ein i. |
Formulierungen der linearen Unabhängigkeit
Für alle A ⊆ V sind äquivalent:
(a) | A ist linear unabhängig. |
(b) | Für alle v ∈ A ist v ∉ span(A − { v }). (Spannbedingung) |
Für jede Familie (vi)i ∈ I in V sind äquivalent:
(a) | (vi)i ∈ I ist linear unabhängig. |
(b) | Für alle (αi)i ∈ I ∈ K(I) gilt: ∑i ∈ I αi vi = 0 impliziert αi = 0 für alle i ∈ I. |
(c) | Für alle (αi)i ∈ I, (βi)i ∈ I ∈ K(I) gilt: ∑i ∈ I αi vi = ∑i ∈ I βi vi impliziert αi = βi für alle i ∈ I. (Eindeutigkeit der Darstellung als Linearkombination) |
Die Spannbedingung lässt sich besonders griffig formulieren:
„Kein Vektor von A liegt im Spann der anderen.“
„Verkleinern wir A, so verkleinern wir den Spann.“
In Familien-Schreibweise lautet die Spannbedingung: vj ∉ span((vi)i ∈ I, i ≠ j) für alle j ∈ I. Zur Überprüfung der linearen Unabhängigkeit ist der Nachweis der Nullbedingung aber oft einfacher als der Nachweis der Spannbedingung.
Wir betrachten nun „versteckte Details“ der Begriffsbildung und erste Beispiele.
Formale Feinheiten
(1) | Die leere Menge ist linear unabhängig. Die Nullbedingung ist leer. |
(2) | (0) ist linear abhängig, da 0 = 1 · 0 eine nichttriviale Darstellung der 0 ist. Auch die Spannbedingung zeigt dies, da 0 ∈ { 0 } = span(∅) = span({ 0 } − { 0 }). Allgemein ist jedes A ⊆ V mit 0 ∈ A linear abhängig. |
(3) | Ist v ≠ 0, so ist (v) linear unabhängig, da aus 0 = αv folgt, dass α = 0. |
(4) | Ist v1 = vn und n ≥ 1, so ist (v1, …, vn) linear abhängig, da 0 = 1 v1 − 1 vn. Ist v = w ≠ 0, so ist (v, w) linear abhängig, aber { v, w } = { w } ist linear unabhängig. |
Beispiele
(1) | Für Vektoren v1 = (x1, y1, z1), v2 = (x2, y2, z2), v3 = (x3, y3, z3) ∈ ℝ3 ist (v1, v2, v3) genau dann linear unabhängig, wenn für alle α1, α2, α3 ∈ ℝ gilt: α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = 0 impliziert α1 = α2 = α3 = 0. Dies ist gleichwertig dazu, dass das lineare Gleichungssystem α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = 0 α1 y1 + α2 y2 + α3 y3 = 0 α1 z1 + α2 z2 + α3 z3 = 0 in den reellen Unbestimmten α1, α2, α3 nur die Lösung α1 = α2 = α3 = 0 besitzt. Analoges gilt für n Vektoren v1, …, vn des ℝn, n ≥ 1. |
(2) | Seien V = ℝℝ, v = sin und w = cos. Dann ist (v, w) linear unabhängig. Denn sei α sin + β cos = 0. Dann gilt α sin(x) + β cos(x) = 0 für alle x ∈ ℝ, speziell also α sin(0) + β cos(0) = 0, α sin(π/2) + β cos(π/2) = 0. Aus sin(0) = cos(π/2) = 0 und sin(π/2) = cos(0) = 1 folgt nun α = β = 0. Allgemeiner ist die Menge der Sinus- und Kosinusfunktionen aus dem Exkurs im letzten Abschnitt linear unabhängig. |
(3) | Sei V = K(I). Dann ist { ei | i ∈ I } linear unabhängig. Speziell ist die Menge { 1, X, X2, X3, … } = { e0, e1, e2, … } der Monome linear unabhängig im K-Vektorraum K [ X ] = K(ℕ). |