3.8 Die Dimension

Definition (Dimension eines Vektorraumes)

Ein Vektorraum V heißt endlich-dimensional, in Zeichen dim(V) < ∞, falls eine endliche Basis von V existiert. Andernfalls heißt V unendlich-dimensional, in Zeichen dim(V) = ∞. Ist V endlich-dimensional und (v₁, …, v_n) eine Basis von V, so heißt V n-dimensional, in Zeichen dim(V) = n.

Illustration der

Dimensionsformel

dim(U) + dim(W) = dim(U ∩ W) + dim(span(U ∪ W))

anhand von Ebenen U und W im ℝ³ durch 0, deren Durchschnitt eine Gerade G ist: 2 + 2 = 1 + 3.

Die Unterscheidung zwischen „dim(V) < ∞“ und „dim(V) = ∞“ ist einfach möglich, die Setzung von „dim(V) = n“ beruht dagegen auf dem Längensatz in 3. 7.

Bemerkung

Ist V endlich erzeugt, d. h. gibt es v₁, …, v_n  ∈  V mit

span(v₁, …, v_n) = V,

so ist V endlich-dimensional. Denn wir können einen Vektor v_i, der im Spann der Vektoren v_j, j ≠ i, liegt, streichen, ohne den Spann V zu verkleinern. So lässt sich (v₁, …, v_n) schrittweise zu einer Basis reduzieren.

Beispiele

(1)	Ist V = { 0 }, so gilt dim(V) = 0. Denn die leere Menge ist eine Basis von V.

(2)	Ist V = ℝⁿ, so gilt dim(V) = n, denn (e₁, …, e_n) ist eine Basis von V. Analog ist dim(V) = n für ℂⁿ.

(3)	Ist V der ℝ-Vektorraum ℂⁿ, so gilt dim(V) = 2n. Eine Basis ist ((1, 0, …, 0), (i, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1), (0, …, 0, i)).

(4)	Sei M = { a₁, …, a_n } eine nichtleere Menge mit genau n Elementen, und sei V der { 0, 1 }-Vektorraum ℘(M) mit der symmetrischen Differenz als Vektoraddition und der Skalarmultiplikation 0 · A = ∅ und 1 · A = A für alle A ⊆ M. Dann gilt dim(V) = n, denn ({ a₁ }, …, { a_n }) ist eine Basis von V.

(5)	Ein Produktraum K^I ist genau dann endlich-dimensional, wenn I endlich ist.

(6)	Der Vektorraum K [ X ] = K^(ℕ) ist unendlich-dimensional.

(7)	Der ℚ-Vektorraum ℝ ist unendlich-dimensional. Denn für alle v₁, …, v_n  ∈  ℝ ist span(v₁, …, v_n) = { α₁ v₁ + … + α_n v_n \| α₁, …, α_n  ∈  ℚ } abzählbar und damit ungleich ℝ. Allgemein gilt, dass ein überabzählbarer Vektorraum V über einem abzählbaren Körper unendlich-dimensional ist.

Hat man die Dimension eines endlich-dimensionalen Vektorraums V als n bestimmt, so ist der Nachweis, dass n Vektoren eine Basis bilden, nur noch halb so aufwendig. Es genügt zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig oder erzeugend sind. Das „oder“ wird automatisch zum „und“:

Satz von der Halbierung der Arbeit

Ist dim(V) = n, so sind für alle v₁, …, v_n  ∈  V äquivalent:

(a)	(v₁, …, v_n) ist eine Basis von V.

(b)	(v₁, …, v_n) ist linear unabhängig.

(c)	(v₁, …, v_n) ist erzeugend.

Wir betrachten schließlich noch Unterräume von endlich-dimensionalen Vektorräumen.

Ist (v₁, …, v_n) eine Basis, so existieren Unterräume U₀, …, U_n der Dimensionen 0, …, n:

U₀ = { 0 } = span(∅), U₁ = span(v₁), U₂ = span(v₁, v₂), …, U_n = V = span(v₁, …, v_n).

Wichtige Ergebnisse über die Dimension von Unterräumen sind:

Dimension von Unterräumen

Ist V endlich-dimensional und U ein Unterraum von V, so ist U endlich-dimensional und dim(U) ≤ dim(V). Ist dim(U) = dim(V), so ist U = V.

Sind U, W Unterräume von V, so gilt die Dimensionsformel:

dim(U) + dim(W) = dim(U ∩ W) + dim(span(U ∪ W)).

Der Leser vergleiche die Dimensionsformel für Unterräume mit der Anzahlformel für endliche Mengen A, B: |A| + |B| = |A ∩ B| + |A ∪ B|.

Beispiele

(1)

Sei V = ℝ³, und seien U und W zwei verschiedene Ebenen durch den Nullpunkt. Dann ist span(U ∪ W) = V, denn ist (u₁, u₂) eine Basis von U, so ist (u₁, u₂, v) für alle v  ∈  W − U eine Basis von V. Nach der Dimensionsformel ist

dim(U ∩ W) = dim(U) + dim(W) − dim(span(U ∪ W)) = 2 + 2 − 3 = 1.

Damit ist U ∩ W eine Gerade durch den Nullpunkt.

(2)	Sind U, W Unterräume eines Vektorraums V mit U ∩ W = { 0 }, so ist dim(span(U ∪ W)) = dim(U) + dim(W) − dim({ 0 }) = dim(U) + dim(W).