4.1 Gruppenhomomorphismen

Definition (Gruppenhomomorphismus)

Seien (G, ∘), (G′, ∘′) Gruppen. Eine Abbildung φ : G → G′ heißt ein (Gruppen-) Homomorphismus, falls

φ(a ∘ b) = φ(a) ∘′ φ(b) für alle a, b  ∈  G. (Homomorphiebedingung)

Die Homomorphiebedingung φ(a ∘ b) = φ(a) ∘′ φ(b)

Strukturerhaltende Abbildungen gehören wie die Unterstrukturen zu den Grundmotiven der Mathematik. Wir beschränken uns hier auf die Gruppen, allgemeiner könnten wir auch Homomorphismen zwischen Halbgruppen betrachten.

Die Grundidee ist:

Die Anwendung der Abbildung und die Ausführung der Operation sind vertauschbar.

Ist φ : G → G′ eine Abbildung und sind a, b  ∈  G, so können wir zuerst c = a ∘ b bilden und dann φ anwenden. Wir erhalten so φ(c)  ∈  G′. Wir können aber auch zuerst a und b mit Hilfe von φ nach G′ schicken und dort φ(a) ∘′ φ(b) bilden. Die Homomorphiebedingung besagt, dass beide Wege zu dem selben Element von G′ führen:

φ(a ∘ b) = φ(c) = φ(a) ∘′ φ(b).

Häufig gebraucht werden:

φ(e) = e′, φ(a⁻¹) = φ(a)⁻¹ für alle a  ∈  G.

Diese Eigenschaften lassen sich wie folgt einsehen. Es gilt

φ(e) = φ(e ∘ e) = φ(e) ∘′ φ(e), sodass e′ = φ(e),

e′ = φ(e) = φ(a ∘ a⁻¹) = φ(a) ∘′ φ(a⁻¹), sodass φ(a⁻¹) = φ(a)⁻¹.

Notationen

(1)	Abbildungen zwischen Gruppen notieren wir auch in der Form φ : (G, ∘) → (G′, ∘′). Dabei ist Def (φ) = G und Bild(φ) ⊆ G′.

(2)	Umgekehrt erleichtert es oft die Notation, die Operationen gar nicht zu erwähnen und etwa multiplikativ φ(ab) = φ(a)φ(b) zu schreiben, obwohl die Operationen in G und G′ verschieden sein können.

Beispiele

(1)	Wir definieren φ : (ℝ², +) → (ℝ, +) durch φ(a, b) = a für alle (a, b)  ∈  ℝ². Die Abbildung φ beschreibt die Projektion auf die erste Koordinate. Für alle (a, b), (c, d)  ∈  ℝ² gilt: φ((a, b) + (c, d)) = φ(a + c, b + d) = a + c = φ(a, b) + φ(c, d). Also ist φ ein Homomorphismus.

(2)	Die reelle Exponentialfunktion exp : (ℝ, +) → (ℝ, ·) zur Basis e ist ein Homomorphismus. Denn nach dem Additionstheorem der Analysis gilt exp(x + y) = e^x + y = e^x · e^y = exp(x) · exp(y) für alle x, y  ∈  ℝ. Gleiches gilt für die komplexe Exponentialfunktion exp : (ℂ, +) → (ℂ, ·).

(3)

Die komplexe Konjugation φ : (ℂ, +) → (ℂ, +) mit

φ(x + iy) = x − iy für alle x + i y  ∈  ℂ

ist ein Homomorphismus. Denn für alle x₁ + i y₁, x₂ + i y₂  ∈  ℂ gilt

φ((x₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂)) = φ((x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)) =

x₁ + x₂ − i (y₁ + y₂) = x₁ − i y₁ + x₂ − i y₂ = φ(x₁ + i y₁) + φ(x₂ + i y₂).

Das Gleiche gilt, wenn wir (ℂ*, ·) statt (ℂ, +) zugrunde legen.

(4)

Wir betrachten (ℤ, +), eine beliebige Gruppe (G, ∘) und ein beliebiges a  ∈  G. Nun definieren wir φ : ℤ → G durch

φ(n) = aⁿ für alle n  ∈  ℤ.

Dann gilt

φ(n + m) = a^n + m = aⁿ ∘ a^m = φ(n) ∘ φ(m) für alle n, m  ∈  ℤ.

Also ist φ ein Homomorphismus. Spezialfälle sind

φ : (ℤ, +) → (ℤ_p*, ·), φ(n) = [ a ]ⁿ, wobei [ a ] = [ a ]_p  ∈  ℤ_p*, p prim,

φ : (ℤ, +) → (ℤ_m, +), φ(n) = n [ a ], wobei [ a ] = [ a ]_m  ∈  ℤ_m, m ≥ 1.

(5)	Für alle Gruppen G, G′ ist φ : G → G′ mit φ(a) = e′ für alle a  ∈  G ein Homomorphismus, der sog. triviale Homomorphismus von G nach G′.

(6)	Für jede Gruppe G ist die Identität id : G → G ein Homomorphismus.

(7)	Sind φ : G → G′ und ψ : G′ → G″ Homomorphismen, so ist auch die Komposition ψ ∘ φ : G → G″ ein Homomorphismus.