4.2 Mono-, Epi-, Iso-, Endo- und Automorphismen

Definition (Typen von Homomorphismen, isomorphe Gruppen)

Seien G, G′ Gruppen.

(a)

Ein Homomorphismus φ : G → G′ heißt

Monomorphismus, falls φ injektiv ist,

Epimorphismus, falls φ surjektiv ist,

Isomorphismus, falls φ bijektiv ist,

Endomorphismus, falls G = G′,

Automorphismus, falls G = G′ und φ bijektiv ist.

(b)

G und G′ heißen isomorph, in Zeichen G ≅ G′, falls ein Isomorphismus φ : G → G′ existiert.

ela1-AbbID162a

G

ela1-AbbID162b

G′

ela1-AbbID162c

G″

Isomorphe Gruppen unterscheiden sich nur durch die Namen ihrer Elemente.

 Die aus dem Griechischen stammenden Vorsilben bestimmen die Bedeutung: „mono“ steht für „allein, einzig, nur“ (Monolog, Monokultur), „epi“ für „auf“ (Epidemie), „iso“ für „gleich, entsprechend“ (Isobaren, Isomere), „endo“ für „innerhalb“ (endogen, Endogamie), „auto“ für „selbst“ (autonom, Autodidakt). Homomorphismen werden oft mit griechischen Buchstaben wie φ, ψ, π, Φ, Ψ, … bezeichnet.

 Isomorphismen sind von besonderer Bedeutung. Ein Isomorphismus ist eine strukturerhaltende Bijektion. Er bringt, wie jede Bijektion, die Elemente zweier Mengen in eine 1-1-Korrespondenz, sodass jedem Element a der einen Menge genau ein Element φ(a) der anderen Menge entspricht. Zusätzlich erhält diese Korrespondenz die Struktur der Menge gemäß der Homomorphiebedingung. Eine anschauliche Interpretation ist:

Ein Isomorphismus φ : G → G′ ändert die Namen der Elemente:

a  ∈  G erhält den neuen Namen φ(a)  ∈  G′.

Die Isomorphie von G und G′ bedeutet dann:

G und G′ unterscheiden sich, bei einer geeigneten Umbenennung,

lediglich durch die Namen ihrer Elemente.

Der Zusatz „geeignet“ ist hier wichtig: Die Isomorphie zweier Gruppen involviert einen Existenzquantor, denn G ≅ G′ bedeutet: Es gibt einen Isomorphismus φ : G → G′.

 Wir betrachten einige Beispiele. Die ersten sieben Beispiele entsprechen dabei den sieben Beispielen des vorherigen Abschnitts.

Beispiele

(1)

Die Projektion φ : (ℝ2, +) → (ℝ, +) auf die erste Koordinate ist ein Epimorphismus, aber kein Monomorphismus (da zum Beispiel φ(0, 1) = φ(0, 0) = 0).

(2)

Die reelle Exponentialfunktion exp : (ℝ, +) → (ℝ*, ·) ist ein Monomorphismus, aber kein Epimorphismus (da zum Beispiel −1 nicht angenommen wird). Dagegen ist exp : (ℝ, +) → (ℝ+, ·) ein Isomorphismus.

(3)

Die komplexe Konjugation φ : (ℂ, +) → (ℂ, +) ist ein Automorphismus.

(4)

Die Potenzierung φ : (ℤ, +) → (G, ∘) zur Basis a  ∈  G mit φ(n) = an für alle n ist im Allgemeinen weder ein Mono- noch ein Epimorphismus. Wird G durch a erzeugt, so ist φ ein Epimorphismus. Ist an ≠ e für alle n ≥ 1, so ist φ ein Monomorphismus.

(5)

Der triviale Homomorphismus φ : G → G′ ist für G ≠ { e } kein Monomorphismus und für G′ ≠ { e′ } kein Epimorphismus.

(6)

Für alle Gruppen G ist die Identität id : G → G ein Automorphismus. Damit ist G isomorph zu sich selbst.

(7)

Sind φ : G → G′ und ψ : G′ → G″ Homomorphismen eines bestimmten Typs, so hat auch ψ ∘ φ : G → G″ diesen Typ. Insbesondere ist die Isomorphie-Relation transitiv: Ist G isomorph zu G′ und weiter G′ isomorph zu G″, so ist G isomorph zu G″.

(8)

Ist φ : G → G′ ein Isomorphismus, so auch φ−1 : G′ → G. Damit ist die Isomorphie symmetrisch: Ist G isomorph zu G′, so ist G′ isomorph zu G.

(9)

Ist N ein Normalteiler von G, so ist die Abbildung π : G → G/N mit π(a) = a N für alle a  ∈  G wohldefiniert und ein Epimorphismus. Sie heißt die natürliche Projektion von G auf G/N.

 Ist also 𝒢 eine Menge von Gruppen, ist die Relation ≅ eine Äquivalenzrelation auf 𝒢. Die Beispiele zeigen weiter, dass Gruppenhomomorphismen Anlass zur Definition neuer Gruppen geben. Für jede Gruppe G ist

Aut(G)  =  { φ : G → G | φ ist ein Automorphismus }

eine Gruppe unter der Komposition. Sie heißt die Automorphismengruppe von G und ist eine Untergruppe der Permutationsgruppe SG aller Bijektionen von G nach G (vgl. 2. 3). Für G ≠ { e } ist Aut(G) eine echte Untergruppe von SG. Denn sind a, e  ∈  G verschieden, so ist die Permutation f : G → G mit f (a) = e, f (e) = a, f (b) = b für alle anderen b kein Automorphismus (da f (e) ≠ e). Weiter ist Aut(G) die Gruppe der invertierbaren Elemente des Monoids End(G) = { φ : G → G | φ ist ein Endomorphismus }.